酉空间介绍

§8酉空间介绍定义14设V是复数域上一个线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积,记作),(，它具有以下性质:1)),(),(，),(是),(的共轭复数;2)),(),(kk;3)),(),(),(;4)),(是非负实数,且0),(当且仅当0这里,,是V中任意的向量,k是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.例1在线性空间nC,对向量nnbbbaaa,,,,,,,2121定义内积为nnbababa2211),(,(1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样nC就成为一个酉空间.由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.1)),(),(kk.2)),(),(),(.3)),(叫做向量的长度，记为||.4)柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量,有|||||,|,当且仅当,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入5)向量,，当0),(时称为正交的或互相垂直.在n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.7）对n级复矩阵A，用A表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足EAAAA，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.8)酉空间V的线性变换A，满足(A,A)=(,),就称为V的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9）如矩阵A满足AA则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间nC中令AnnxxxAxxx2121则(A,)=(,A).A也是对称变换.10）V是酉空间，1V是子空间，1V是1V的正交补，则11VVV又设1V是对称变换的不变子空间，则1V也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.12）若A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C，使ACCACC1是对角形知阵.13）设A为埃尔米特矩阵，二次齐次函数XAXxxaxxxfninjjiijn1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C，当时CYXnnnnyydyydyydxxxf22211121),,,(.