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专题二：学前儿童初步数学概念发展的趋势与特征主讲人：张更立安徽师范大学主要内容：■学前儿童感知集合的发展■学前儿童10以内初步数概念的发展■学前儿童10以内加减运算的发展■学前儿童认识几何形体的发展■学前儿童认识物理量的发展■学前儿童空间方位概念的发展■学前儿童时间概念的发展问题1：学前儿童感知集合的发展一、学前儿童感知集合的内涵■学前儿童感知集合的教育，是指在不教给学前儿童集合术语的前提下，让他们感知集合及其元素，学会用一一对应的方法比较集合中元素的数量，并将有关集合、子集及其关系的一些观念渗透到整个学前儿童数学教育中去。（一）对集合的笼统感知是幼儿数概念发生的起点■“儿童在最初形成的是关于集合元素的含糊的数量观念，而后是关于作为同一整体的集合的概念，在这个基础上发展对集合比较的兴趣和更准确地确定集合中元素数量的兴趣，以后儿童才能掌握计数的技巧和数的概念。”————列乌申娜：《学前儿童初步数概念的形成》■杭州大学的吕静、王伟红（1984）对儿童数概念的发生问题进行的实验研究：二、学前儿童感知集合的意义项目年龄辨数点数2岁（通过人数%）2.5岁（通过人数%）3岁（通过人数%）3.5岁（通过人数%）4岁（通过人数%）5岁（通过人数%）154981999910003105381100表1：5以内数的辨数、点数的比较■列乌申娜在分析一个五岁一个月的男孩数数时还出现手口不一致的现象时说：“儿童们借助于数词过早地转到计数活动。他们还没有形成对集合的所有元素的确切知觉。他们还没有学会在实践中把集合的元素用一个与一个相对应的方法对他们进行比较，缺少这些知识使他们不能精确地掌握计数活动和更进一步地深入理解作为集合等量标志的数的意义”。因此，她认为，在集合的笼统感知之后形成的是集合概念，较早地向幼儿进行集合教学，能使幼儿更快地掌握计数活动和深入理解数的概念。（二）感知集合元素是幼儿数概念形成和发展的感性基础■学习感知集合有助于幼儿理解集合的包含关系，有助于幼儿加深对数的组成和加减运算的理解。集合具有包含关系，集合与子集就存在包含关系，幼儿要表示数目，应该把几个物体看成一个整体，必须在思想上形成包含关系，学习集合不仅有助于幼儿理解包含关系，还是幼儿进行数的组成和加减运算的基础，数的组成实际上就是一个集合与它的子集之间的等量关系，而数的加减运算是整体与部分之间关系的运算，这里的整体我们就可以看成是一个集合，部分就可以看成是子集。（三）感知集合的包含关系有助于幼儿理解数的组成与加减运算（四）感知集合的对应关系是幼儿理解数的等量关系与进行数比较的基础■在两个集合中，当一个集合的每一个元素分别与另一个集合的每一个元素形成对应关系，那么这种对应就叫做一一对应。一一对应在幼儿数学中被广泛地应用，通过一一对应，幼儿在不会计数之前就可以比较出两组物体的多少，同时这种对应活动的练习，也有助于促进幼儿计数能力的发展。可见，这种一一对应的逻辑观念正是帮助幼儿形成和理解数的等量关系和进行数的比较的基础。（一）一般趋势■学前儿童感知集合的发展经历了一个由泛化笼统到精确的过程。（二）年龄特征■泛化笼统的感知阶段（3岁前）■感知有限集合阶段（3岁后）■感知集合元素阶段（4岁左右）■感知集与子集包含关系阶段（5岁后）三、学前儿童感知集合发展的趋势与特征方富熹、方格（1986年）对3-7岁儿童理解类包含关系能力作过实验研究。他们把三只小猪都背着救生圈并排放着，其中有两只穿着红裤衩，问儿童：“背救生圈的小猪多还是穿红裤衩的小猪多？”结果成绩如表2所示：【实验研究】表7-2年龄（岁）正确人数45%545%665%表2：四、学前儿童感知集合的教育内容■物体分类的教学■区分“1”和“许多”的教学■用一一对应比较两组物体集合的教学问题2：学前儿童10以内初步数概念的发展一、计数活动是学前儿童形成初步数概念的基本活动■感知物体集合，作为学前儿童学数前的教育，它为其形成初步数概念打下基础，但是，感知集合过程中儿童不能最终形成数的初步概念。儿童只有进一步通过计数活动，最后说出总数，才是对数实际意义的初步认识，才能对数形成最初的数概念。■计数活动是一种有目的、有手段、有结果的操作活动，其实质是将具体集合的元素与自然数列里从“1”开始的自然数之间建立一一对应关系。只要不遗漏，不重复，数到最后一个元素对应的数就是计数的结果，即总数。（一）计数活动的实质从计数活动的结构来看，可分为内容和动作两个方面。1.学前儿童在计数内容方面的发展■依次说出数词（唱数）■从集合中区分出每一个元素■使每个数词只和集合中的一个元素对应■说出总数（二）计数活动的结构及发展趋势2.学前儿童在计数动作方面的发展动作主要包括手的动作和语言动作两方面：■手的动作方面：学习计数时，幼儿手的动作呈现出以下发展变化：手触摸并移动物体——触摸但不移动物体——不触摸而用手在一定距离外指点物体——最后是只用眼睛区分、点数物体，以眼代替手的动作。■语言动作方面：学习计数时，幼儿的语言动作呈现出以下发展趋势：最初大声说出数词——小声说出数词——最后到不出声的默数。1.口头数数是指口头按顺序说出自然数的能力（3岁前，带有顺口溜的性质）。具体表现为下几点：■一般只能从“1”开始往下数，中途遇到干扰数数无法继续；■不能从中间某数开始往下数，更不会倒着数；■在口头数数时，常常有漏数或循环重复数字的现象。（三）学前儿童计数活动发展的阶段是指用手逐一指点物体，同时有顺序地逐个说出数词，使说出的每一个数词与手点的每一个物体一一对应。4岁前的幼儿由于大脑皮层抑制机能较差，手眼动作不灵活，再加上口头数数不熟练，因此常常出现以下几种手口不一致的现象：■口能从1-10顺着数，但手却不能按实物一个个地点，而是乱点；■虽能按实物一个个地点，但口却乱说，如边点实物边说1、2、5、8、9、10等。■口与手虽然能有节奏地配合，但不是一对一的配合，如数两个数点一个实物，或者相反地数一个数点两个实物。2.按物点数是指幼儿在计数过程中按物点数后，能够用说出的最后一个数词来代表所数过的物体的总数。一般4岁以后的幼儿大多数能够数出10以内物体的总数。幼儿能手口一致点数并正确说出总数，标志着幼儿已经开始理解数的实际意义。它意味着幼儿的计数能力发展到一个新水平，即形成了最初的数概念。3.说出总数■按数取物，是指按照一定的数目拿去同样多的物体。这是对数概念的实际运用。■按群计数，是指计数时不以单个物体为单位，而是以数群为单位，如两个、两个地数，五个、五个地数等。随着幼儿计数能力的发展，5岁后开始能按群计数，这表明幼儿数概念的抽象性获得了更高的发展，因为数群概念是将代表一个物体群的数作为一个整体去把握，而不使用实物和逐一计数确定物体群的数量。按群计数的能力也为幼儿后续的组成和加减运算的学习奠定了基础。4.按数取物与按群计数二、学前儿童10以内初步数概念发展的年龄特征（一）第一阶段（3-4岁）——对数量的感知动作阶段■对数量有笼统的感知，幼儿对明显的大小、多少的差别能区分，对不明显的差别，则不会区分。■会口头数数，但一般不超过20。■逐步学会手口一致地对5以内的实物进行点数，但点数后说不出物体的总数；总之，此阶段幼儿主要通过感知和运动来把握客体的数量，只具有对少量物体的初步的数观念，尚未形成数的概念。■点数实物后能说出总数，即具备了最初的数群概念。中班末期开始出现数的“守恒”现象。■中班前期幼儿能分辨大小、多少、一样多；中期能认识第几和前后数序。■能按数取物。■逐步认识数与数之间的关系：有数序的观念，能比较数目大小，能应用实物进行数的组合和分解。■开始能做简单的实物运算。这一阶段幼儿所反映出来的特征表明他们已在较低水平上达到了形成数概念的指标。（二）第二阶段（4-5岁）————数词和物体数量间建立联系的阶段■对10以内的数大多数能保持“守恒”。■计算能力发展较快，大多数从表象运算向抽象的数字运算过渡。■序数概念、基数概念、运算能力的各个方面都有不同程度的扩大和加深，到后期一般可学会100以内的数数，个别的可能学会20以内的加减运算。这一阶段的幼儿已在较高水平上形成了数的概念，并开始从表象向抽象的数的运算过渡。（三）第三阶段（5-6岁）————简单的实物运算阶段三、学前儿童初步数概念形成的标志■掌握10以内数的实际意义（基数、序数、数守恒）■理解10以内自然数的顺序■理解10以内数的组成四、学前儿童10以内初步数概念的教育内容■10以内基数的教学（数数、倒数、顺接数、相邻数、数守恒）■10以内序数的教学■10以内数的组成的教学■10以内数的认读与书写的教学问题3：学前儿童10以内加减运算的发展一、学前儿童加减运算能力发展的一般过程（一）从加法运算到减法运算（二）从具体加减运算到抽象加减运算■动作水平的加减运算■表象水平的加减运算■概念水平的加减运算■逐一加减运算：是指用计数的方法进行的加减运算。表现在加法上是先将两组物体合并在一起，再逐一计数一共有几个，或者是先计数第一堆物体的个数，再以第一堆的最后个数为起点继续计数第二堆；在减法上则是先将要减去的物体取走，在逐一计数剩下物体的个数。■按数群加减运算：是指学前儿童能够把数作为一个整体，从抽象的数群出发进行数群间的加减运算。这是以学前儿童掌握了数的组合与分解为基础的，当他们掌握了10以内的数的组成后才能逐渐达到按数群加减的水平。（三）从逐一加减到按数群加减（一）4岁前■这一年龄阶段的孩子基本上不会加减运算，他们不懂加减的含义，更不会使用“＋”、“－”、“＝”等运算符号。■不会自己亲自动手将实物分开或合拢进行加减运算。■但在成人的帮助下，他们能解答一些与生活实际密切联系的5以内他人口述应用题。如问幼儿：盒子里有两个红玻璃球，一个蓝玻璃球，你说盒子里共有几个玻璃球呢？幼儿按逐一计数，能够回答出来。但若问幼儿2+1等于几？幼儿一般不能回答出，且不感兴趣。二、学前儿童加减运算能力发展的年龄特征■这一年龄阶段的幼儿会自己动手将实物合并或取走后进行加减运算，但这种运算不能脱离具体的实物，而且运算的方法是从头开始进行逐一计数，即通过重新点数总数或剩余数得出结果。■他们对于抽象的符号列式运算不理解，也不感兴趣。值得注意的是，这阶段的孩子已经表现出初步的运用表象进行加减运算的能力。这就是在不要求幼儿掌握应用题的结构，不使用加减运算符号，没有实物的帮助的情况下，他们能解答一些数目简单的加减口述应用题。（二）4-5岁■5-5岁半的儿童能够熟练地利用表象进行加减运算。他们能将学到的顺着数和倒着数的方法运用到加减的运算上。这年龄阶段的多数儿童可以不用摆弄实物，而通过眼睛注视物体，进行心中默默地进行逐一加减运算。这种加减运算方法是以第一组物体的总数为起点，开始逐一计数，直到数完第二组为止。■随着数群概念的发展，特别是在学习了数的组成以后，5岁半-6岁的儿童不仅能运用数的组成知识进行加减运算，而且运用表象解答口述应用题的能力也进一步提高，并且摆脱了逐一加减的水平，达到按数群运算的程度。儿童加减运算方法的进步，实质上反映了儿童在加减运算中思维抽象性的发展。（三）5-6岁三、学前儿童10以内加减运算的教育内容■实物加减的教学■自编口述应用题的教学■列式加减运算的教学一、学前儿童认识几何形体的发展趋势（一）认识各种几何形体的难易顺序的发展■先平面后立体。■认识平面图形的难易顺序是：先拓扑图形后欧几里德几何图形；在认识欧氏图形时，是先认识圆形，后认识正方形、三角形、长方形、半圆形、椭圆形和梯形等。■认识立体图形的难易顺序是：球体、正方体、圆柱体、长方体和圆锥体。问题4：学前儿童认识几何形体的发展国外曾有研究者对学前儿童感知形状时手、眼的运动作过研究，发现其存在着一个由局部到整体、由粗糙到细致的发展过程。例如，3岁左右儿童用视觉感知几何形体的水平较低，往往只限于匆忙而草率的视觉运动，且只注意到图形的某一个部分或个别特点；5岁左右儿童才开始逐渐会沿着图形的外轮廓运动，并且注意到图形的典型部分，从而确保对图形的确切感知。（二）从局部、粗糙的感知到完整、细致的辨认（三）形体的感知与