棱锥台的表面积和体积的计算公式

第三节空间简单几何体的表面积和体积第八章立体几何与空间向量考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)，并会求它们以及它们的简单组合体的表面积和体积.课前自修知识梳理一、空间简单几何体的侧面展开图的形状几何体名称圆柱圆锥圆台侧面展开图形状矩形扇形扇环侧面展开图几何体名称直棱柱正n棱锥正n棱台侧面展开图形状矩形n个全等的等腰三角形n个全等的等腰梯形侧面展开图二、空间简单几何体的侧面积和表面积1．直棱柱：S侧＝________(C为底面周长，h是高)，S表＝________.2．正棱锥：S侧＝________(C为底面周长，h′是斜高)，S表＝________.3．正棱台：S侧＝____________(C′，C为上、下底面周长，h′是斜高)，S表＝________________.4．圆柱：S侧＝________(C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长)，S表＝__________.5．圆锥：S侧＝_________(C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长)，S表＝________.S侧＋2S底Ch12Ch′S侧＋S底12(C＋C′)h′S侧＋S上底＋S下底Cl＝2πrlS侧＋2S底12Cl＝πrlS侧＋S底6．圆台：S侧＝_______________________(C′，C分别是上、下底面周长，r′，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长)，S表＝________________.7．球：S表＝________(R是球的半径)．三、空间简单几何体的体积公式1．柱体体积公式：V柱＝________，其中h为柱体的高．2．锥体体积公式：V锥＝________，其中h为锥体的高．3．球的体积公式：V球＝________，其中R表示球的半径．12(C＋C′)l＝π(r＋r′)lS侧＋S上底＋S下底4πR2S底h13S底h43πR3四、长方体、正方体的对角线长、表面积和体积公式1．长方体表面积公式：S＝2(ab＋bc＋ac)，长方体体积公式：V＝________.2．正方体表面积公式：S＝________，正方体体积公式：V＝________.3．长方体对角线长等于，正方体对角线长等于________．五、两点的球面距离：(属知识拓展)经过球面上两点(不是直径端点)的大圆的劣弧长叫做这两点的球面距离．a2＋b2＋c2abc6a2a33a基础自测1．(2012·绵阳市调研)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是()A．6B．12C．24D．36解析：依题意可知，该几何体为四棱锥，底面是矩形，长和宽分别为4和3，锥体的高为3，∴该棱锥的体积S＝×(3×4)×3＝12.故选B.答案：B132．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的对角线长为2a2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2.故选B.答案：B3．(2012·中山市四校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是____________cm3.解析：将一个圆锥沿轴截面截开成两部分，将其中一部分的截面放在水平面上，这样的半圆锥的三视图满足题设条件．该半圆锥的底面是半圆，面积为12π×12＝π2，高为正视图中的长度22，∴体积为13×π2×22＝2π3(cm3)．答案：2π34．(2011·佛山市南海一中检测)半径为a的球放在墙角，同时与两墙面及地面相切，两墙面互相垂直，则球面上的点到墙角顶点的最短距离是________.解析：联想到正方体模型，则该球是正方体的内切球，其直径就是正方体的棱长，则球面上的点到墙角顶点的最短距离等于球心到正方体一个顶点的距离与球半径的差，也就是正方体的对角线长与球直径的差的一半．答案：(3－1)a考点探究考点一根据简单多面体的三视图求该几何体的侧(表)面积、体积【例1】(2012·安徽卷)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．思路点拨：根据三视图还原出几何体，确定该几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积．点评：这一类题型不直接给出几何体的特征元素的长度，如只给出三视图的数据、旋转体的轴截面图形或侧面展开图的图形．这需通过题设条件，想象出原几何体的形状(或作出原几何体的直观图)，进而求解出相关条件，最终使问题获解．解析：该几何体是底面为直角梯形，高为4的直四棱柱，它的表面积是S＝2×12×(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋42＋5－22)×4＝92.答案：92变式探究1．(2012·厦门市期末)已知体积为的正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直底面)的三视图如图所示，则此三棱柱的的高为()A.13B.23C．1D.433解析：由俯视图的高等于侧视图的宽，正三棱柱的底面三角形高为3，故边长为2.设正三棱柱的高为h，则由正三棱柱的体积公式，有3＝12×2×3×h，解得h＝1.故选C.答案：C考点二根据多面体的直观图求该几何体的表面积、体积【例2】正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为8.(1)求此三棱锥的斜高与高；(2)过三条侧棱中点的截面(中截面)把此棱锥分成了一个棱锥和一个棱台，求得到的棱台的表面积．思路点拨：顶点S在底面的射影是正三角形ABC的中心O，而求截得的棱台的表面积关键是侧面积的求解，可直接计算得到．解析：(1)如图，O是S在底面的射影，SO即是高，连接AO并延长交BC于E，连接SE，OB，在三棱锥SOBE中，各面都是直角三角形．SE即是斜高，BO＝23×32×6＝23，SO2＝SB2－OB2＝64－12＝52⇒SO＝213，SE2＝SB2－BE2＝64－9＝55⇒SE＝55，所以此三棱锥的斜高与高分别为55，213.(2)根据定义，A1B1C1ABC是正棱台，EE1为正棱台的斜高，A1B1＝12AB＝3，EE1＝12SE＝552，S表＝S上＋S下＋S侧＝34×32＋34×62＋3×12(3＋6)×552＝453＋27554＝23，SO2＝SB2－OB2＝64－12＝52，SO＝213，SE2＝SB2－BE2＝64－9＝55，SE＝55，所以此三棱锥的斜高与高分别为55，213.(2)根据定义，A1B1C1-ABC是正棱台，EE1为正棱台的斜高，A1B1＝12AB＝3，EE1＝12SE＝552，S表＝S上＋S下＋S侧＝34×32＋34×62＋3×12(3＋6)×552＝453＋27554.点评：简单几何体内的基本计算依赖于对它的结构的理解，紧扣定义是关键．而在与正棱锥有关的计算中，常常转化为解直角三角形来完成．变式探究2．(2012·江苏卷)如下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为__________cm3.解析：∵长方体底面ABCD是正方形，∴在△ABD中，BD＝32cm，BD边上的高是322cm(它也是四棱锥A-BB1D1D中平面BB1D1D上的高)．∴四棱锥A-BB1D1D的体积为13×32×2×322＝6(cm3)．答案：6考点三根据旋转体的三视图求该几何体的表(侧)面积、体积【例3】(2012·金华市十校联考)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.533πB.553πC．18πD.763π解析：由三视图知，空间几何体的上部是一个圆柱，下部是一个圆台．由体积公式得该几何体的体积为V＝π×22×4＋13π×(22＋12＋2×1)＝16π＋73π＝553π.答案：B变式探究3．(2011·咸阳市模拟)如图所示是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是()A.10π3B．4πC．6πD．12π答案：A考点四求多面体与旋转体的组合体的侧(表)面积和体积【例4】(2011·湖南卷)如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.92π＋12B.92π＋18C.9π＋42D.36π＋18解析：由三视图可得这个几何体上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3、高为2的长方体，则其体积为V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18.故选B.答案：B变式探究4．(2012·吉林市期末)下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是______________．解析：由三视图可知原几何体是一个长方体中挖去一个半球体，故所求表面积为S＝2×2＋4×2×1＋(2×2－π·12)＋12·4π·12＝16＋π.答案：16＋π考点五正方体与球体相接的问题【例5】正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A．1∶3B．1∶3C．1∶33D．1∶9思路点拨：本题涉及几何体的内切球与其外接球问题．首先要弄清楚的是该内切球与外接球的直径(长度)分别是正方体的棱长与正方体的对角线．解析：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为32a，故所求的体积比为1∶33.故选C.答案：C点评：解决多面体与旋转体的结合体的表面积、体积问题，关键是解决半径问题，常常选择适当的轴截面将其转化为平面几何问题来解决．球内接几何体与球外切几何体问题的关键是要弄清楚几何体的哪一个几何量(线段长)“充当”了球的直径(或半径)的角色．5．球的半径为R，则球的外切正方体和内接正方体的表面积之比为________，体积之比为________．解析：球的外切正方体的棱长为2R，该正方体的表面积为S1＝6×(2R)2＝24R2，体积为V1＝(2R)3＝8R3；球的内接正方体的体对角线的长为2R，设棱长为a，则3a＝2R，即a＝2R3，该正方体的表面积为S2＝6×2R32＝8R2，体积为V2＝2R33＝833R3.∴S1∶S2＝3∶1，V1∶V2＝33∶1.答案：3∶133∶1变式探究解析：球的外切正方体的棱长为2R，该正方体的表面积为S1＝6×(2R)2＝24R2，体积为V1＝(2R)3＝8R3；球的内接正方体的体对角线的长为2R，设棱长为a，则3a＝2R，即a＝2R3，该正方体的表面积为S2＝6×2R32＝8R2，体积为V2＝2R33＝833R3.∴S1∶S2＝3∶1，V1∶V2＝33∶1.答案：3∶133∶1解析：球的外切正方体的棱长为2R，该正方体的表面积为S1＝6×(2R)2＝24R2，体积为V1＝(2R)3＝8R3；球的内接正方体的体对角线的长为2R，设棱长为a，则3a＝2R，即a＝2R3，该正方体的表面积为S2＝6×2R32＝8R2，体积为V2＝2R33＝833R3.∴S1∶S2＝3∶1，V1∶V2＝33∶1.答案：3∶133∶1考点六用割补法求多面体的体积【例6】如图所示，P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为()A．2VB．3VC．4V3D．3V2思路点拨：分析四棱锥P-BCC1B1与三棱柱ABC-A1B1C1的关系，找出它们的体积之间的内在联系．解析：设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，体积为V′，则VP-ABC＋VP-A1B1C1＝13S△ABC·h＝13×V′，从而四棱锥P-BCC1B1的体积V＝23V′，所以V′＝32V.故选D.答案：D点评：在求解几何体体积时，要注意图形中的特点，特别要注意“割补法”与“等积法”的思想方法的运用．变式探究6．如图，一圆柱被一平面所截，已知被截后的几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于________．解析：将一个与已知几何体完全相同的几何体与已知几何体在截面处拼接，组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱的体积的一半．于是V＝1