现代控制理论-东北大学高立群-清华大学出版社-第5章

思路岛答案网)2221231213()2322Vxxxxxxxx2)222123121323()82822Vxxxxxxxxxx3)22131223()2Vxxxxxxx解1)TT211()130101VAxxxxx,因为顺序主子式2120,50,1321113020101所以0A，()Vx为正定函数。2)TT841()421111VxxAxxx,因为主子式8481218,2,10,0,70,10,421111841421164421680111所以A不定，()Vx为不定函数。3)TT1212110()1001VxxAxxx,因为顺序主子式1110,10,101212110110010401所以A为不定矩阵，()Vx为不定函数。思路岛答案网用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。2211211222212212()()xxxxxxxxxxxx解解方程组22121122212212()0()0xxxxxxxxxx只有一个实孤立平衡点（0，0）。在（0，0）处将系统近似线性化，得**1111xx，由于原系统为定常系统，且矩阵1111的特征根1si均具有负实部，于是根定理5.3可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。5.3试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。1123xx解由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普诺夫第一方法比较合适。经计算知矩阵1123的特征根为230。由于第一方法关于线性系统稳定性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。5.4设线性离散时间系统为010(1)001()m0020kkmxx试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。解方法1令,QI建立离散系统李雅普诺夫方程TGPGPQ，得思路岛答案网1112131333231113121222231323332312220001000()010222200102pppmpmpmpmPpPppppppmppp比较系数，解此矩阵方程得222100800412004mmmP若要0P，应有22804mm；21204m解上述不等式组，知02m时，原系统在原点是大范围渐近稳定。方法2由21001=s202smsssmsIA知系统特征根分别为10s；22ms，32ms，因此只有02m时，原系统在原点是大范围渐近稳定。5.5试用李雅普诺夫方法求系统11122122aaaaxx在平衡状态x0为大范围渐近稳定的条件。思路岛答案网整理提供解由于对于线性系统，李雅普诺夫第一方法中结论是全局性的，是充分必要的。这里利用第一方法求解比较简单。首先求出系统矩阵的特征方程111221122112212212122()0saassaasaaaaasaIA由一元二次方程根与系数的关系可知两个特征值同时具有负实部的充要条件为11220aa，11221221aaaa。5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式11122212dxaxxxdtdxxxxdt式中，1x、2x分别是生物个体数，、、、是不为零的实数。关于这个系统，(1)试求平衡点；(2)在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。解(1)由01dtdx，02dtdx，得0)(0)(1221221211xxxxxxxxxx同时满足这二式的1x、2x有两组：01x、02x和/1x、/2x。即，系统的平衡点为：平衡点(a)01x、02x平衡点(b)/1x、/2x(2)分两种情况讨论平衡点的稳定性。①在平衡点(a)线性化的微分方程为**11**2200xxxx其特征方程式是0))((ss0、0时，平衡点(a)稳定，除此以外不稳定。思路岛答案网整理提供②在平衡点(b)，令11/xx，22/xx，得21*121122//()()xxxxxxxx12*212211//()()xxxxxxxx因此，在平衡点(b)线性化的微分方程式是**11**220//0xxxx其特征方程式为20s0时，特征根是，为正、负实数，平衡点(b)不稳定。0时，特征根是j，为共轭纯虚数，平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。5.11利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：1123xx解令矩阵11121222ppppP则由TAPPAI得1112111212221222121110132301pppppppp解上述矩阵方程，有11111211122222122212742413420826158pppppppppp即得思路岛答案网P因为111211122275717480detdet05346488ppPpp可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为T221122TT22121()(14103)08()()0VxxxxVxxxxPxxxQxxx又因为lim()Vxx，所以系统在原点处大范围渐近稳定。5.12给定连续时间的定常系统1222122(1)xxxxxx试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。解易知(0,0)为其唯一的平衡状态。现取2212()Vxxx，则有：2212(i)()0Vxxx121221221222222()()(ii)()22(1)2(1)xVxVxVxxxxxxxxxxxx容易看出，除了两种情况：（a）1x任意，20x（b）1x任意，21x时()0Vx以外，均有()0Vx。所以，()Vx为负半定。（iii）检查0((;,0))Vtx是否恒等于零。思路岛答案网整理提供考察情况（a）：状态轨线T01(;,0)(),0txtx，则由于2()0xt，可导出2()0xt，将此代入系统的方程可得：12222211()()00()(1())()()()xtxtxtxtxtxtxt这表明，除了点（120,0xx）外，T01(;,0)(),0txtx不是系统的受扰运动解。考察情况（b）：T01(;,0)(),1txxt，则由2()1xt可导出2()0xt，将此代入系统的方程可得：12222211()()10()(1())()()()xtxtxtxtxtxtxt显然这是一个矛盾的结果，表明T01(;,0)(),1txxt也不是系统的受扰运动解。综上分析可知，0((;,0))0Vtx。（iv）当2212xxx时，显然有2()Vxx。于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。5.13试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。112321223xxxxxxx解显然x0是系统的一个平衡点。231()113xFxT2262ˆ()()()226FxFxFxx由60和222262123640226xx知()0Fx。根据克拉索夫斯基可知系统在原点渐近稳定。又因为T23212122lim()()lim[(3)()]xxxxxxxfxfx所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的，同时可说明原系统只有惟一一个平衡点思路岛答案网整理提供x0。5.15试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统11252122xaxxxxxbx的原点为大范围渐近稳定的参数a和b的取值范围。解构造雅克比矩阵421()115abxFx，令T4222ˆ()()()2210abxFxFxFx若要求系统在原点渐近稳定，则当0x，应有()Fx0，又0x时，()Fx0的充要条件为20,a442040aabx。于是a应满足1a。又因为系统大范围渐近稳定，所以当x时，应有()Fx0。注意x，1a时，()Fx0的充要条件为0b；x1a时，()Fx0的充要条件为0b。综上，,ab的取值范围为：1,0ab，或1,0ab。