《等比数列》教学设计(

《等比数列》教学设计（共2课时）一、教材分析：1、内容简析：本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。2、教学目标确定：从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）：第一课时：（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导（2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力（3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识第二课时：（1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质（2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用3、教学重点与难点：第一课时：重点：等比数列的定义及通项公式难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题第二课时：重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题二、学情分析：从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。三、教法选择与学法指导：由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法教法构思如下：提出问题作用于原来的认知结构引发认知冲突析在原有认知的基础上分观察分析在特殊情况下归纳概括一般情况下得出结论例题和练习总结提高。在教师的精心组织下，对学生各种能力进行培养，并以促进学生发展，又以学生的发展带动其学习。同时，它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。2、学法指导：学生学习的目的在于学会学习、思考，达到创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，提高学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导：（1）把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊到一般的方法。其通项公式11nnqaa是以n为字变量的函数，可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。（2）注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和深刻性的目的。四、教学过程设计：第一课时1、创设情境，提出问题（阅读本章引言并打出幻灯片）情境1：本章引言内容提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：1，2，,2,2,2432……，632（1）于是发明者要求的麦粒总数是情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？10000(1+r),100002)1(r,100003)1(r,……（2）情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,81,41,21……（3）问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)21(2、自主探究，找出规律：学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常23631+2+2+2++2数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q)0(q表示，即1:(,2,0)nnaaqnNnq。如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,21点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。3、观察判断，分析总结：观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：1，3，9，27，……,81,41,21,1……1，-2，4，-8，……-1，-1，-1，-1，……1，0，1，0，……思考：①公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？②公比1q是什么数列？③0q数列递增吗？0q数列递减吗？④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。选题分析；因为等差数列公差d可以取任意实数，所以学生对公比q往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q有防患意识，问题③是让学生明白0q时等比数列的单调性不定，而0q时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。备选题：已知Rx则,,,32xxx……nx，……成等比数列的从要条件是什么？4、观察猜想，求通项：方法1：由定义知道,,,3134212312qaqaaqaqaaqaa……归纳得：等比数列的通项公式为：11nnqaa)(Nn（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只承认它是正确的就可以了）方法2：迭代法根据等比数列的定义有23123nnnnaaqaqaq……2121nnaqaq方法3：由递推关系式或定义写出：,,,342312qaaqaaqaa……qaann1，通过观察发现342312aaaaaa……qqqaann1……1nqq11nnqaa，即：11nnqaa)(Nn（此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用）公式11nnqaa)(Nn的特征及结构分析：（1）公式中有四个基本量：naqna,,,1，可“知三求一”，体现方程思想。（2）1a的下标与的1nq上标之和nn)1(1，恰是na的下标，即q的指数比项数少1。5、问题探究：通项公式的应用例、已知数列na是等比数列，64,283aa，求14a的值。备选题：已知数列na满足条件：nnpa)54(，且2544a。求8a的值6、课堂演练：教材138页1、2题备选题1：已知数列na为等比数列，45,106431aaaa，求4a的值备选题2：公差不为0的等差数列na中，632,,aaa依次成等比数列，则公比等于7、归纳总结：（1）等比数列的定义，即11nnaqa)0(q（2）等比数列的通项公式11nnqaa)(Nn及推导过程。8、课后作业：必作：教材138页练习4；习题1（2）（4）2、3、4、5选作：1、已知数列na为等比数列，且1231237,8aaaaaa，求na2、已知数列na满足111,21nnaaa（1）求证：1na是等比数列；。（2）求na的通项na。第二课时1、复习回顾：上节课，我们学习了……（打出幻灯片）（1）等比数列定义：1:(,2,0)nnaaqnNnq（2）通项公式：11nnqaa(,0)nNq（3）若11nnanan，数列na是等比数列吗？111()nnnaan对不对？（注意：考虑公比q为常数）2、尝试练习：在等比数列na中（1）2418,8aa，求1,aq（2）514215,6,aaaa求na（3）在－2与－8之间插入一个数A，使－2，A，－8成等比数列，求A（鼓励学生尝试用不同的方法求解，相互讨论分析不同的解法，然后归纳出等比数列的性质）3、性质探究：（1）若a,G,b成等比数列，则2Gab有，称G为a,b的等比中项，即Gab(ab与同号）；思考：2a是谁的等比中项？3a呢？na呢？总结归纳得到性质（2）（2）211(2)nnnaaan逆向思考：若数列na满足211(2)nnnaaan，它一定是等比数列吗？（3）若mnpq，则(,,,mnpqaaaamnpq为正整数）（4）(,,)nmnmaaqnmnmN4、灵活运用：下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。例1、在等比数列na中，35100aa，求4a变式1、等比数列na中，若262,162aa，则10a变式2、等比数列na中，若7125aa，则891011aaaa变式3、等比数列na中，若1231237,8aaaaaa，则na＝例2、已知数列,nnab是项数相同的等比数列，求证：nnab是等比数列。变式1、已知数列,nnab是项数相同的等比数列，问数列nnab是等比数列吗？变式2、已知数列na是等比数列，若取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？变式3、已知数列na是等比数列，若取出102030,,,aaa……组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？变式4、已知数列na是等比数列，若每一项乘以非零常数C组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？（通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质）例3、三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求这三个数。备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数。5、课堂演练：教材138页3、4、5备选题：已知数列na为等比数列，且2435460,225naaaaaaa则35aa备选题：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项的和为18，求这四个数。6、归纳总结：（1）等比中项的概念（2）等比数列有关性质7、课后作业：必作：教材139页习题6、7、10、11选作：1、在数列,nnab中，0,0nnab，且1,,nnnaba成等差数列，11,,nnnbab成等比数列，1121,2,3aba，求:nnab的值。2、设2xy，且,,,yxyxyxyx能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。