向量的分解与坐标运算

1§5.2向量的分解与坐标运算【考纲解读】1.了解平面向量的基本定理及其意义。2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3.会用坐标表示平面向量的加法、减法、与数乘运算。4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。【知识梳理】1.平面向量基本定理：如果1e和2e是平面内的两个不平行的向量，那么该平面内任一向量a，存在唯一的一对实数1a，2a，使，把不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组，记为，把叫做向量a关于基底{1e，2e}的分解式。2.如果基底的两个向量1e，2e互相垂直，则称这个基底为，在正交基底下分解向量，叫做。3.设{1e，2e}为平面直角坐标系内的正交基底，由平面向量基本定理，对于平面上的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=x1e+y2e。我们把有序数对（x，y）叫做向量，记作，叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标。把叫做向量的坐标表示。4.向量的直角坐标运算：设a=（1a，2a），b=（1b，2b）则a+b=，a-b=，a=。5.向量共线：设a=（1a，2a），b=（1b，2b），向量a∥b6.直线的向量参数方程式：已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，对直线l上任一点P，存在实数t，使OP关于基底{OA，OB}的分解式为：（），并且满足（）式的点P一定在l上，我们把（）式叫做直线的向量参数方程式；当t=21时，点P是AB的中点，则上式称为线段AB的中点的向量表达式。【基础自测】1.下列各组向量中能作为基底的是（）A．1e=（0，0）、2e=（2，-1）B.1e=（-2，1）、2e=（5，7）2C．1e=（5，3）、2e=（10，6）D.1e=（2，-3）、2e=（21，43）2.已知a，b是两个不共线的向量，),(2121Rbac，c与a共线或c与b共线的充要条件是（）A．1=0B.2=0C.2221=0D.21=03.设非零向量21,ee不共线，且21eek与21eke共线，则k的值是（）A.1B.-1C.±1D.04.已知向量OA=（1，-3），OB=（2，-1），）（2,1OCmm，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是（）A．m-2B.m21C.m1D.m-15.已知向量a=（-2，5）的起点为（1，2），则它的终点坐标为。6.已知x轴的正方向与a的方向的夹角为60o，且a=4，则a的坐标为。【精讲点拨】例1.如图：已知OA=a，OB=b，cOC，求证：存在不全为零的实数nml,,，当cnbmal=0,且nml=0时，A，B，C三点共线例2.平面内给定三个向量a=（3，2），b=（-1，2），c=（4，1）。则：①求满足a=mb+nc的实数m，n的值；②若（a+kc）∥（2b-a），求实数k；③设d=（x，y）满足（d-c）∥（b+a）且|d-c|=1，求d。CBAOACabcO3例3.在⊿ABC中，41OCOA，21ODOB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，以{ba,}为基底表示OM例4.已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若）（RACABAP，试求λ为何值时，点P在第三象限内？【能力提升】1．下列命题：（1）若)0(ba则ba；（2）若0a为单位向量，a与0a平行，则a=a0a；（3）设a=11e+22e（R21，），则1e与2e共线时，a与1e也共线。其中真命题有（）A.0B.1C.2D.32.若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D.83.若AB=i+2j,DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足OBOAOC，其中R，，且=1，则点C的轨迹方程为（）A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=05．0bbaba成立的充要条件是6．1e，2e是两不共线的向量，且AB=21e+k2e，CB=1e+32e，CD=21e-2e，若A，B，D三点共线，则k=_____________。7．（2009广东理）若平面向量a,b满足ba=1，ba平行于x轴，b=(2,-1)则a=。BDOMAC48.已知点A(1,-2)，若向量AB与a=(2,3)同向，︱AB︳=213，则点B的坐标是。【总结反思】【当堂检测】1.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为（A.-3B.-1C.1D.32．（2009广东文）已知平面向量a=（1,x），b=（2,xx），则向量ba（）A．平行于y轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于x轴D．平行于第二、四象限的角平分线3．（2009宁夏海南卷文）已知a=（2,3），b=（0,1），向量a+b与a-2b垂直，则实数的值为（）A．17B．17C．16D．164.若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x=。5.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.本资料来源于《七彩教育网》