条件概率及其应用.ppt

§1.4条件概率及其应用一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A)P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到)()(636131BPABPP(A|B)P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B))()(10710373BPABP设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1))()()|(BPABPBAPSABAB2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.含义：A在B中所占的比例3.条件概率的性质设B是一事件，且P(B)0,则1.对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;2.P(S|B)=1；3.设A1,…,An互不相容，则P[(A1+…+An)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.▲条件概率符合概率定义中的三个条件：2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计算1)用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0掷骰子例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}P(A|B）=31B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例1袋中有6只球,其中4只白球,2只红球.六个人依次不放回的从袋中各取一球.设A1={第一人取出的是白球},A2={第二人取出的是白球}21()PAA求解法1:用定义12211()()()PAAPAAPA35436546解法2:213()5PAA(从A1发生后改变了的样本空间去计算)(P16,例2)例2一次掷两颗骰子,设A={两颗骰子的点数和为8},B={两颗骰子中至少有一个3点}求条件概率(),()PBAPAB解:B={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5,(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3)}解法1:用定义A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}()()()PABPBAPA23653625()()()PABPABPB2361136211(P17,例3)2()5PBA解法2:从A发生后改变了的样本空间去计算()PAB同理新的样本空间为A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}（含5个样本点），在A中B包含两个样本点，故例3设M件产品中包含m件次品，今从中任取两件，求已知2件产品中至少有一件是次品的条件下两件都是次品的概率。解:设A={两件中至少有一件是次品}B={两件均为次品}2112()mmMmMPACCCC22()()mMPABPBCC()(|)()PABPBAPA()()PBPA121mMm(P17,例4)由条件概率的定义：即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2))()()|(BPABPBAP而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率P(AB)0时,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)推广到多个事件的乘法公式:当P(A1A2…An-1)0时，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)例4.一盒中有10只电子元件,其中6只正品4只次品,从盒中任取3次,每次取1只,不放回.求:(1)3次均取得正品的概率;(2)第三次才取得正品的概率解:Ai={第i次取出是正品}，i=1,2,3(1)123()PAAA121312()()()PAPAAPAAA610594816(2)123()PAAA110121312()()()PAPAAPAAA4103968(P18,例5)乘法公式应用举例（波里亚罐子模型）t个白球,r个红球(P18,例6)例5一个罐子中包含r只红球和t只白球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回袋中，并且再加进a只与所抽出的球具有相同颜色的球.若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解:设Ai={第i次取出是红球}，i=1,2,3,4={第i次取出是白球}，i=1,2,3,4iA12341213124123()()()()()PAAAAPAPAAPAAAPAAAA用乘法公式容易求出rrtrarta2trta3tarta全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公式与贝叶斯公式SBBBBBnji21)2()1(njiji,2,1,,注：S的一个划分一是要互斥，二是要充满整个空间.1．样本空间的划分设S为试验E的样本空间,nBBB,,21为E的一组事件,若：则称是样本空间S的一个划分或称是一个完备事件组。nBBB,,21nBBB,,21定义：B1B2B3B4B5B6B7B86,5,4,3,2,1SE的一组事件6,5,4,3,2,1321BBB是S的一个划分或构成了完备事件组321,,BBBE的另一组事件6,5,4,3,3,2,1321CCC就不是S的一各划分，或构不成一个完备事件组。321,,CCC对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：比如：2.全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是S的一个划分，且有P(Ai)0，i=1,2,…,n,niiiABPAPBP1)()()(｜全概率公式:则对任一事件B，有▲如何寻找一个完备事件组是利用全概率公式解题的关键,在实际应用中可以把它理解为导致事件B发生的一组原因.注：全概率公式还可以用下面图形来表示niiiABPAPBP1)()()(｜BA1A2AnS导致B发生的原因（完备事件组）1()PA2()PA()nPA1(/)PBA2(/)PBA(/)nPBA()PB11()(/)PAPBA22()(/)PAPBA()(/)nnPAPBA例63个人用抓阄的方法抽取两张足球赛的门票，求每人抽到门票的概率。后抽比先抽的吃亏吗？门票门票(P20,例8)我们用Ai表示“第i个人抽到门票”i＝1,2,3.显然，P(A1)=2/3，P()＝1/31AiA则表示“第i个人未抽到门票”2()PA211232322331231212312()()()()()PAPAAPAAAPAAPAAA121()()PAPAA211211323223请看演示：抽签公平312()PAAA312()PAAA121()()PAPAA121121()()()()PAPAAPAPAA例7市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。123{BAAA设：买到一件次品}={买到一件甲厂的产品}={买到一件乙厂的产品}={买到一件丙厂的产品}解则由已知P(A1)=1/4,P(A2)=1/4,P(A3)=1/2P(B/A1)=0.02,P(B/A2)=0.01,P(B/A3)=0.03112233()(|)()(|)()(|)PAPBAPAPBAPAPBA1110.020.010.03442()PB0.0225BA1A2A3SP(B/A1)=0.02,P(B/A2)=0.01,P(B/A3)=0.03P(A1)=1/4,P(A2)=1/4,P(A3)=1/2该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜含义：已知B发生的条件下寻求导致B发生的原因Ai的概率.贝叶斯公式：在全概率公式的条件下，有ni,,,21贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.例8某厂产品，每100个装一箱，用户抽检时只从每箱中抽取10只产品来检查。若这10只产品中发现有次品，就认为该箱产品不合格，拒收，假定每箱中的次品不超过4只，且有分布次品数01234P0.10.20.40.20.1求(1)任取一箱,能通过检查的概率(2)任取一箱通过了检查,而该箱内却有4只次品的概率.解:令A={任取一箱通过了检查}Bi={任取一箱中有i只次品},i=0,1,2,3,4(P19,例7)(1)由全概率公式40()()()kkkPAPBPAB1010101099989796101010101001001001000.110.20.40.20.10.8CCCCCCCC(2)由贝叶斯公式0.08144()()()PABPBAPA44()()()PBPABPA1096101000.10.8CC