同济高数-教案

高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组1第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、掌握极限的性质及四则运算法则。7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。§1.1映射与函数一、集合1.集合概念集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aM.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组2例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A{a1,a2,,an},M{x|x具有性质P}.例如M{(x,y)|x,y为实数,x2y21}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N{0,1,2,,n,}.N{1,2,,n,}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z{,n,,2,1,0,1,2,,n,}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.},|{互质与且qpqZpqpNQ子集:若xA,则必有xB,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B)或BA.如果集合A与集合B互为子集,AB且BA,则称集合A与集合B相等,记作AB.若AB且AB,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AB,即AB{x|xA或xB}.设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AB,即AB{x|xA且xB}.设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作A\B,即A\B{x|xA且xB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则(1)交换律ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的证明:高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组3x(AB)CxABxA且xBxAC且xBCxACBC,所以(AB)CACBC.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为AB,即AB{(x,y)|xA且yB}.例如,RR{(x,y)|xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.3.区间和邻域有限区间:设ab,称数集{x|axb}为开区间,记为(a,b),即(a,b){x|axb}.类似地有[a,b]{x|axb}称为闭区间,[a,b){x|axb}、(a,b]{x|axb}称为半开区间.其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,ba称为区间的长度.无限区间:[a,){x|ax},(,b]{x|xb},(,){x||x|}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设是一正数,则称开区间(a,a)为点a的邻域,记作U(a,),即U(a,){x|axa}{x||xa|}.其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.去心邻域U(a,):U(a,){x|0|xa|}二、映射1.映射的概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY,其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即yf(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组4DfX;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即Rff(X){f(x)|xX}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域DfX;集合Y,即值域的范围:RfY;对应法则f,使对每个xX,有唯一确定的yf(x)与之对应.(2)对每个xX,元素x的像y是唯一的;而对每个yRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即RfY,不一定RfY.例1设f:RR,对每个xR,f(x)x2.显然,f是一个映射,f的定义域DfR,值域Rf{y|y0},它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y,除y0外,它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2两个.例2设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,对每个(x,y)X,有唯一确定的(x,0)Y与之对应.显然f是一个映射,f的定义域DfX,值域RfY.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1,1]上.(3)f:]2,2[[1,1],对每个x]2,2[,f(x)sinx.f是一个映射,定义域Df]2,2[,值域Rf[1,1].满射、单射和双射:设f是从集合X到集合Y的映射,若RfY,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1x2,它们的像f(x1)f(x2),则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yRf,有唯一的xX,适合f(x)y,于是,我们可定义一个从Rf到X的新映射g,即g:RfX,对每个yRf,规定g(y)x,这x满足f(x)y.这个映射g称为f的逆映射,记作f1,其定义域1fDRf,值域1fRX.按上述定义,只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g:XY1,f:Y2Z,其中Y1Y2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映射成f[g(x)]Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fog,即fog:XZ,高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组5(fog)(x)f[g(x)],xX.应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域Rg必须包含在f的定义域内,RgDf.否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fog有意义并不表示gof也有意义.即使fog与gof都有意义,复映射fog与gof也未必相同.例4设有映射g:R[1,1],对每个xR,g(x)sinx,映射f:[1,1][0,1],对每个u[1,1],21)(uuf.则映射g和f构成复映射fog:R[0,1],对每个xR,有|cos|sin1)(sin)]([))((2xxxfxgfxgf.三、函数1.函数概念定义设数集DR,则称映射f:DR为定义在D上的函数,通常简记为yf(x),xD,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x),xD”或“y=f(x),xD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.函数符号:函数yf(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“”等.此时函数就记作y(x),yF(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412xxy的定义域.要使函数有意义,必须x0,且x240.解不等式得|x|2.所以函数的定义域为D{x||x|2},或D(,2][2,]).单值函数与多值函数:高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组6在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2y2r2给出.显然,对每个x[r,r]，由方程x2y2r2,可确定出对应的y值,当xr或xr时,对应y0一个值;当x取(r,r)内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2y2r2给出的对应法则中,附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到一个单值分支221)(xrxyy;附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支222)(xrxyy.表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P(x,y)|yf(x),xD}称为函数yf(x),xD的图形.图中的Rf表示函数yf(x)的值域.函数的例子:例.函数00||xxxxxy.称为绝对值函数.其定义域为D(,),值域为Rf[0,).例.函数010001sgnxxxxy.称为符号函数.