平面向量的分解与坐标运算

第1页共56页§5.2平面向量的分解与坐标运算第2页共56页高效梳理第3页共56页●平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴､y轴平行的两个单位向量i､j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴､y轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示,相等的向量其坐标相同,坐标相同的向量是相等向量.第4页共56页●平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.(3)非零向量a=(x,y)的单位向量为±(4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2且y1=y2.()().222121ABxxyy221,axyaxy或第5页共56页●需注意的几点(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是a=λb,这与x1y2-x2y1=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.1122122112211221,2,200.//00.xyxyxyxyxyabxyxyxyxy因为有可能等于，所以应表示为同时，的充要条件也不能错记为：，等第6页共56页1122332121313121313121,,,Ax,y,Bx,y,Cx,y,ABxx,yy,ACxx,yy,xxyyxxyy0,ABC.●三点共线的判断方法判断三点是否共线先求每两点对应的向量然后再按两向量共线进行判定即已知则若则､､三点共线第7页共56页考点自测第8页共56页1.a1,1,b1,1,c1,2,c()13A.2213B.2231C.2231D.22abababab若向量则等于答案:B第9页共56页:cxayb,1,2x1,1y1,1xy,xy,1,xy1,132c.xy2,322,2xaby解析设则第10页共56页2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a､4b-2c､2(a-c)､d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)答案:D第11页共56页解析:由题知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0,即(2,6)+d=0,故d=(-2,-6),选D.第12页共56页3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为()A.(2,)B.(2,-)C.(3,2)D.(1,3)BCAD7212第13页共56页:Dx,y,ADx,y2,BC4,3,BC2AD,x2,42x,732y2,y.2解析设则又答案:A第14页共56页4.ba1,2180,b35,b__________.若平面向量与向量的夹角是且则22x,yk1,2k0,:bx,y,xy35,k3,b3,6.解析设则由题意知解得答案:(-3,6)第15页共56页5.已知点A(1,-2),若点A､B的中点坐标为(3,1)且与向量a=(1,λ)共线,则λ=__________.AB:AB3,1,B5,4,3AB4,6,ABa,4160,.2解析由､的中点坐标为可知所以又3:2答案第16页共56页题型突破第17页共56页题型一tixingyi平面向量的坐标运算【例1】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M､N的坐标及向量的坐标.ABCBCACMCNMN第18页共56页解析:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3·(5,-5)+(-6,-3)-3·(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).2mbnc(6mn,3m8n)5,5,6mn5,m1,3m8n5,n1.解得第19页共56页3O0,0,CMOMOC3c,OM3cOC3,243,40,20.M0,20.CNONOC2b,ON2bOC12,63,49,2,N9,2.MN9,18.设又第20页共56页规律方法:利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点､终点坐标的关系求解.第21页共56页1O0,0A1,2B4,5OPOAtAB.1t,Px?Py?P?2OABP?,t;,.创新预测已知､､及为何值时在轴上在轴上在第二象限四边形能否成为平行四边形若能求出相应的值若不能请说明理由:1O0,0,A1,2,B4,5,OA1,2,AB3,3,OPOAtAB13t,23t.解析2;31;3130,21.230,33PPtPtt若在x轴上，则2+3t=0,解得t=-若在y轴上，则1+3t=0,解得t=-若在第二象限，则解得第22页共56页21,2,33,33,331OAPB332OABPOPOAOAPBPOOBttOABPtt方法一：若四边形为平行四边形，，则，而无解，四边形不能成为平行四边形.方法二：=+tAB,AP=tAB,A、P、B三点共线四边形ＯＡＢＰ不能成为平行四边形.第23页共56页题型二tixinger平面向量共线的坐标运算及应用【例2】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求满足a=mb+nc的实数m､n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(3)若向量d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=5,求d.第24页共56页:13,2m1,2n4,1(m4n,2mn),mm4n3,82mn2,.9n解析由题意得５，９得2akc34k,2k,2ba5,2,akc2ba,234k52k0,16.13k又第25页共56页2234,1,2,4.x42y10,x4y15,x3,x5,.y1y3d3,15,3.dxyab设向量坐标为（x,y）,则d-c=由题意知或向量的坐标为或第26页共56页规律方法:(1)由两向量相等的充要条件可求得实数m､n的值;(2)由两向量平行的充要条件列出关于k的方程,进而求得k的值;(3)由两向量平行及向量的模列方程组求解.第27页共56页创新预测2如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.::OPtOBt4,44t,4t,APOPOA4t,4t4,04t4,4t,AC2,64,02,6.AP,AC4t464t20,t解析方法一设则由共线的充要条件知解得①第28页共56页3446420,.44,43,3.3,3.tttOPttP解得点坐标为第29页共56页P,,,4,4.,440.2,6,2,6,CA2260.P3,3.xyOPxyOBOPOBxyCPxyCACPxy方法二：设则共线，①又且向量、共线，-6②解①②组成的方程组，得x=3,y=3,点的坐标为第30页共56页题型三tixingsan平面向量的坐标运算与其它知识的综合(,),sin,2,,.2,.mamaabm3a22cos2bm【例】设两个向量和其中为实数若求的取值范围2222:2b(2m,m2sin),22m,cosm2sin,(2m2)mcos2sin,解析2224m9m41sin2sin,21sin2sin2,即又第31页共56页224m9m42,1112,4,42222,2,2621,61.mmmmmmm解得又的取值范围是，第32页共56页创新预测3在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标为A(2,3),B(1,-1),C(5,1),点P在直线BC上运动,动点Q满足=++,求点Q的轨迹方程.PQAPBPCP:PQPAPBPC,PQPAPBPC,AQPBPC,PBC,AQBC.Qx,y,AQx2,y3.BC4,2,2x24y30,x2y40,Q:x2y40.解析由得由于在上则设则则有整理得故点的轨迹方程为第33页共56页对接高考第34页共56页1.(2008·安徽)若=(2,4),=(1,3),则等于()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)ABCABC:BCACAB1,32,41,1.解析答案:B第35页共56页2.(2009·宁夏中卫模拟)已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),试用a､b表示c等于()A.5a-3bB.2a-bC.a-2bD.2a+b:cmanb,7,4m3,2n2,1(3m2n,2mn),73m2nm142mn,n2ca2b.解析设则即解得答案:C第36页共56页3113.(2010)asinx,,b,cosx,432ab,x()5A.B.C.D.64312广东五校联考设且则锐角为311:asinx,,b,cosx,ab,43213111sinxcosx0,sin2x0,24344sin2x1.x,2x,x.24解析且即又为锐角答案:B第37页共56页4.(2010·荷泽模拟)已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n(a0,b0),则ab的最小值是_________.:mn2abab0,4abab0,ab4ab0(),ab16.ab16.解析由已知可得解得或舍去所以的最小值为答案:16第38页共56页高效作业第39页共56页一､选择题1.(2009·广东)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b()A.平行于x轴B.平行于第一､三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二､四象限的角平分线答案:C解析:∵a+b=(0,1+x2),∴平行于y轴.第40页共56页2.(2009·北京)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与