类型一古典概型与分布列

类型一古典概型与分布列1.(本小题满分12分)某中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815.(1)求该小组中女生的人数；(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率为34，每个男生通过的频率为23.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3个人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．2.(本小题满分12分)某市直小学为了加强管理，对全校教职工实行新的临时事假制度：每位教职工每月在正常的工作时间，临时有事，可请假至多3次，每次至多1小时．现对该制度实施以来50名教职工请假的次数进行调查统计，结果如下表所示.(1)从该小学任选两名教职工，用η表示这两人请假次数之和，记“函数f(x)＝x2－ηx－1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；(2)从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．3.(本小题满分12分)电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱3瓶，有8种口味供你选择(其中有一种为草莓味)．小王点击进入网页，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．(各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同)(1)小王花10元钱买3瓶，请问小王共有多少种不同的选择方式？(2)小王花10元钱买3瓶，由小王随机点击3瓶，请列出草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．4.(本小题满分12分)某科技公司投资生产A，B两种新型空气净化器，其质量按测试指标划分：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种空气净化器各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)净化器A81240328净化器B71840296(1)试分别估计A，B两种新型空气净化器为正品的概率；(2)生产1件净化器A，若是正品可赢利50元，若是次品则亏损10元；生产1件净化器B，若是正品可赢利100元，若是次品则亏损20元，在(1)的前提下．①求生产5件净化器B所获得的利润不少于300元的概率；②记ξ为生产1件净化器A和1件净化器B所获得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．请假次数0123人数5102055.(本小题满分12分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示：以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．(1)现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：使用时间t(单位：千小时)t44≤t6t≥6每件产品的利润y(单位：元)－202040若从大量的A型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．6.(本小题满分12分)甲、乙两人参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图：(1)指出学生乙成绩的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为派哪位学生参加，成绩比较稳定？(3)若将频率视为概率，对学生甲在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．7.“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1－4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，也可继续挑战后面的门以获得更多奖金(奖金金额不累加)．但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20－30,30－40(单位：岁)，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．每扇门对应的家庭梦想基金(单位：元)(1)写出2×2列联表并判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．(下面的临界值表供参考)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d)(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为45，34，23，13，正确回答一扇门后，选择继续回答下一扇门的概率是12，且各扇门回答正确与否互不影响．设该选手所获家庭梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门10002000300050001.解析(1)设该小组有n个女生，根据题意，得C1nC110－nC210＝815，(3分)解得n＝6或n＝4(舍去)．(5分)∴该小组中有6个女生．(6分)(2)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝13×13×14＝136，(7分)P(ξ＝1)＝C12×23×13×14＋(13)2×34＝736，(8分)P(ξ＝2)＝C12×23×13×34＋(23)2×14＝49，(9分)P(ξ＝3)＝(23)2×34＝13.(10分)∴ξ的分布列为ξ0123P1367364913∴E(ξ)＝0×136＋1×736＋2×49＋3×13＝2512.(12分)2．思路(1)根据零点存在定理，先确定η的范围，再由η是自然数，确定η的值，然后根据古典概型及互斥事件的概率计算公式计算即可；(2)根据题意，两人请假次数之差的绝对值可以为0,1,2,3，然后分别求出各自的概率，列出分布列，再根据数学期望的公式计算．解析(1)因为函数f(x)＝x2－ηx－1过(0，－1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，所以f，f，即16－4η－10，36－6η－10.解得154η356，所以η＝4或η＝5.(3分)当η＝4时，P＝C220＋C110C115C250＝68245，当η＝5时，P＝C120C115C250＝1249.(5分)因为η＝4与η＝5为互斥事件，所以P＝68245＋1249＝128245.(6分)(2)由题意知，ξ的所有可能取值分别是0,1,2,3，(7分)P(ξ＝0)＝C25＋C210＋C220＋C215C250＝27，P(ξ＝1)＝C15C110＋C110C120＋C115C120C250＝2249，P(ξ＝2)＝C15C120＋C110C115C250＝1049，P(ξ＝3)＝C15C115C250＝349.(9分)从而ξ的分布列为ξ0123P2722491049349ξ的数学期望为E(ξ)＝0×27＋1×2249＋2×1049＋3×349＝5149.(12分)3.解析(1)若3瓶口味均不一样，有C38＝56种选择；若其中2瓶口味一样，有C18C17＝56种选择；若3瓶口味一样，有C18＝8种选择．所以小王共有56＋56＋8＝120种选择．(4分)(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.由于各种口味的高极口香糖均超过3瓶且瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为18.(6分)，故随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B(3，18)，P(ξ＝0)＝C03×(18)0×(1－18)3＝343512，P(ξ＝1)＝C13×(18)1×(1－18)2＝147512，P(ξ＝2)＝C23×(18)2×(1－18)1＝21512，P(ξ＝3)＝C33×(18)3×(1－18)0＝1512.所以ξ的分布列为其数学期望E(ξ)＝np＝3×18＝38.4.解析(1)依题意得，净化器A为正品的概率为80100＝45，净化器B为正品的概率为75100＝34.(3分)(2)①设生产的5件净化器B中正品件数为x，则有次品(5－x)件，由题意知100x－20(5－x)≥300，解得x＝4或5.设“生产5件净化器B所获得的利润不少于300元”为事件C，则P(C)＝C45(34)4×14＋C55(34)5＝81128.(6分)②依题意，随机变量ξ的所有可能取值为150,90,30，－30，则P(ξ＝150)＝45×34＝35，P(ξ＝90)＝15×34＝320，P(ξ＝30)＝45×14＝15，P(ξ＝－30)＝15×14＝120.(8分)所以ξ的分布列为ξ1509030－30P3532015120数学期望E(ξ)＝150×35＋90×320＋30×15＋(－30)×120＝108.(12分)ξ0123P3435121475122151215125.解析(1)从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)＝12.(1分)从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)＝25.(2分)∴从A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率P＝C12(12)1(12)1×C12(25)1(35)1＋C22(12)2×C22(35)2×C22(12)2×C22(25)2＝37100.(6分)(2)据题意，知X的可能取值为－40,0,20,40,60,80.(7分)∵P(X＝－40)＝C22(110)2＝1100，P(X＝0)＝C12(110)1×(25)1＝225，P(X＝20)＝C12(110)1×(12)1＝110，P(X＝40)＝C22(25)2＝425，P(X＝60)＝C12(25)1×(12)1＝25，P(X＝80)＝C22(12)2＝14.∴X的分布列为X－40020406080P11002251104252514∴数学期望E(X)＝10(－4×1100＋0＋2×110＋4×425＋6×25＋8×14)＝526．解析(1)依题意，学生乙成绩的中位数为83＋852＝84.(3分)(2)派甲参加比较合适，理由如下：x－甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85，x－乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，s2甲＝35.5，s2乙＝41，∴x－甲＝x－乙，且s2甲s2乙.∴甲的成绩比较稳定．(7分)(3)记“甲在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P(A)＝68＝34，(8分)∴P(ξ＝k)＝Ck3(34)k(1－34)3－k，k＝0,1,2,3.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×164＋1×964＋2×2764＋3×2764＝94.(或E(ξ)＝3×34＝94)(12分)7.解析(1)根据所给的条形图得到列联表如下：正确错误合计20－30(岁)10304030－40(岁)107080合计20100120根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到K2＝－240×80×20×100＝32.706，(3分)∴有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．(4分)(2)ξ的所有可能取值分别为：0,1000,2000,3000,5000，则P(ξ＝0)＝1－25－320－120－160＝2360.P(ξ＝1000)＝45×12＝25，P(ξ＝2000)＝45×12×34×12＝320，P(ξ＝3000)＝45×12×34×12×23×12＝120，P(ξ＝5000)＝45×12×34×12×23×12×13＝160，所以ξ的分布列为ξ的数学期望E(ξ)＝0×2360＋1000×25＋2000×320＋3000×120＋5000×160＝