塑性力学-第三章

塑性力学第三章40学时教材：塑性力学引论（修订版），王仁、黄文彬、黄筑平著广西大学土木建筑工程学院硕士研究生40学时课程第三章应变分析、应力分析和屈服条件§3.1应变张量和应力张量)3,2,1,(2121,,jiuuxuxuijjiijjiij（2）或用张量定义表示来表示。在小变形假设下，相应的(工程)应变可定义为：在直角坐标系中，任意一点的位置可用坐标值),,(zyx或),,(321xxx来表示。相应点的位移可用),,(wvu),,(321uuu或小变形下的应变定义如此定义的应变是二阶对称张量jiij上式中应变的六个独立分量是通过三个位移分量的偏导数给出的，消去位移后可得到应变分量之间的关系，即协调条件。物体在变形和运动过程中，其质点的速度分量i假设下可表示为：)3,2,1(iutuiii（3）在小变形定义变形（速）率张量)3,2,1,(21,,jiijji在小变形情况下变形（速）率张量也是应变张量的时间变化率)3,2,1,(21,,jiijjiij（4）在此种情形下，应变增量可表示为)3,2,1,(21,,jidududijjiij（5）对于率无关材料，与真实时间成单调递增关系的参数都可取为时间参量。式中参数t不一定是真实时间。Cauchy应力张量在通过物体内任一点的面元上，其应力向量可用Cauchy公式来确定。用张量方式来描述，Cauchy公式可以写作)3,2,1,(jiTjiji（6）Tnz（6）式可以用来描述应力边界条件在连续介质中应用Newton第二定律（或动量守恒定律），可以得到应力张量满足的运动方程)3,2,1,(,jiFiijij（7）jiij（8）332211,xxxxiiijijjij而在连续介质中应用动量矩守恒定律，可以得到应力张量满足的对称性条件（7）、（8）两式是在变形后的几何位置上建立起来的，但在小变形情形下，变形前后的坐标可不加区别。准静态情形下，省略（7）式的惯性项，从而得到平衡方程：)3,2,1,(0,jiFijij（9）§3.2应变张量或应力张量的不变量当所截取的面元是以为法向量时，面元上只有正应变（或正应力）而没有剪应变（或剪应力）时，向量称为称为主方向，相应的正应变（或正应力）则称为主应变（或主应力）。先来看主应力，由任一截面上的应力向量满足关系j主方向、主应变和主应力j)3,2,1,(jiTjiji当面元只有正应力时，该应力向量与面元法向量平行，故)3,2,1(iTii0jijijiijj于是有再来看主应变，由于应变张量的坐标变换公式与应力张量坐标变换公式相同，因此确定主应变也有相同公式（应变张量与应力张量都是二阶对称张量，在坐标变换上具有同样的性质）。0jijijiijj于是，可以写出统一的公式0jijij（10）式中是的主值。若代表应力张量，是主应力。若代表应变张量，是主应变。ijijij应力不变量与应变不变量（10）式具有非零解的条件是0detijij由此得到关于的三次多项式032213III（11）)det()(21tr321ijikikkkiikkijIII（12）其中称为的第一、第二和第三不变量。因为它们与坐标系的选择无关。ij可以证明有三个实根（可参考弹塑性力学的习题与例题，清华徐秉业编），这里不证。将的主值记为、和，且规定。ij123321（12）式也可用主值来表示：321313322123211)(III（13）§3.3偏应力张量和偏应变张量基于实验测试结果，对于大多数金属材料，在较大的静水压力作用下，材料仍表现为弹性性质。这就意味着，应力张量可以分为两部分。一部分是静水应力，它对材料的作用不会造成塑性变形。另一部分可以使得材料产生塑性变形。定义静水分量和偏量13131Ikkm（14）ijmijij（15）张量的偏量的几点性质：ijijij1.和具有相同的主方向，其不变量可表示为ij32332221231)det(,3210trmmkijkijijmijijkkijIIJIJJ（16）0jijij03131jijkkkkij03131313131jijkkijjijkkijkkijjijkkkkij如果则也是相应偏张量的特征方程ij因此和具有相同的主方向ij031331tr3322111kkkkijkkijJijijikikkkiiJ21)(2120ii)det(3ijJ2J2.可通过表示为ij2312232122113323322222112661J（17）证明23122321223322221122121ijijJ02113333222211233222211233221111333322221123322221121133332222112332222112332222113232][31211332332222211231223212233222211221J231223212211332332222211661于是有kkiimkkmiikkii)(jiijij又2312232122113323322222112661J得证上式也可通过主值表示为133221232221231J（18）如的主值满足，则有基本不等式ij3213221312J（19）321证明3221231231232212322122322213221232221222123121abba222023123222123121231231231232221231231212312231613141J得证3221312J比较2J是很重要的参数，用它可定义一些重要的参量。如定义等效应变23432Jeeijij式中是应变张量的偏张量。ijeij（20）定义等效应力2323Jssijij（21）式中是应力张量的偏张量。ijsij定义等效剪应变242Jeeijij（22）221JssTijij定义等效剪应力（23）定义八面体剪应变283834Jeeijij（24）定义八面体剪应力283231Jssijij（25）)3,2,1,(jiTjijiijijiiνννTνννTTTN332211332211eeeeeeνT§3.4屈服条件把简单应力状态下屈服应力的概念推广到一般应力状态。1.假定材料在变形的初始阶段处于弹性状态，这种弹性状态的界限称为屈服条件。2.当微元的应力状态达到该界限时，进一步的加载就可能使微元产生不可恢复的塑性变形。3.屈服条件可以用表达式写出。0ijf4.屈服条件在以应力分量为坐标的应力空间中一般是一个曲面，称为屈服曲面。5.当应力位于此曲面之内,即时,材料处于弹性状态;当应力位于此曲面上,即时,材料将开始屈服而进入塑性状态。ij0ijf0ijf各向同性假设：材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服与材料的取向无关，即与坐标系选择无关。由这一假设，屈服条件可表示成三个主应力的函数：0,,321f（26）或应力张量不变量的函数：静水应力不影响材料的塑性性质的假设：即屈服条件只与应力偏量有关。于是屈服条件可以用应力偏张量的不变量来表达两个重要的假设0,,3210IIIf（27）0,320JJf（28）一般来说，这两个假设对多数金属和饱和土是适用的。在不适用的情形，需要对屈服条件进行修正。由这两个假设，如果屈服曲面存在，则可能在主应力空间中用几何方法加以描述。在主应力空间中，任意一应力状态都可用一个向量来表示。OP332211iiiOP上式还可分解为偏量部分和静水应力部分。321332211iiiiiimmmsssOPONOQOQ为主偏应力向量ON为静水应力向量。注意到0321sss321332211iiiiiimmmsssOPONOQ知OQ与ON是正交的。0ONOQ过O点以为法向量的平面习惯上称为π平面，可写为ON0321（29）由于OQ与ON正交，主偏应力向量过O点,OQ知主偏应力向量是π平面的面内向量。OQ以下，建立平面上的直角坐标系，并建立主应力主偏应力与平面上相应的点的坐标的关系。321,,321,,sss主应力坐标系基矢321,,iii顶点构成一平面，该平面平行于π平面。将基矢321,,iii投影到π平面上，得321',','iii。由于321,,iii不平行于π平面,321',','iii再将基矢321,,iii的顶点连线投影到π平面上，由于这些顶点连线平行于π平面，投影所得线的长度不变。将有所缩减。321',','iii中任意两向量及顶点连线构成一个等腰三角形，其顶角角度为120，底角角度为30。因此可以算出3,2,132'i32cos那么，主偏应力321,,sss在π平面上的坐标值为：yx,6,223221,322311111sssss2232,0ssπ平面上任一点的坐标可用主偏应力表达为：622231231sssyssx6,223221,322333333sssss同样，主应力321,,在π平面上的坐标值为：yx,6,221112232,06,22333于是π平面上任一点的坐标可用主应力或主偏应力表达为：626222223123123131sssyssx（30）用极坐标描述，有：31231tg2612131312231223122xyyxr（31）上式中称为Lode参数，表示了主应力之间的相对比值。313122