塑性力学-第四章

塑性力学第四章40学时教材：塑性力学引论（修订版），王仁、黄文彬、黄筑平著土木建筑工程学院张克实讲授第四章本构关系本构关系是塑性力学最重要的基础，也是目前塑性力学理论研究的重要课题之一。以ConstitutiveEquation或ConstitutiveModel等为关键词查询，可以在Elsevier刊物上查到大量的关于塑性本构关系研究的论文。国际刊载固体力学研究最新进展的杂志JournaloftheMechanicsandPhysicsofSolids(JMPS)、InternationalJournalofPlasticity(IJP)和InternationalJournalofSolidsandStructures(IJSS)每年登出的论文中有很多是关于材料塑性本构关系研究的论文。本课程介绍的弹塑性本构关系除先前的各向同性假设和静水应力不影响屈服的假设外，还采用了两个假设（1）小变形假设（2）率无关假设（仅考虑等温过程中的率无关材料）内变量——用来刻划材料加载历史的宏观参量，可以描述经历塑性变形后材料内部微观结构的变化。较常见（用得较多）的内变量是等效塑性应变。因此塑性本构理论吸引了一些优秀的科学家在从事这方面的研究。基本假设内变量的引入§4.1塑性应力率和塑性应变率)(pEpEE回顾一维情形：pEE0,当固定时，E00p弹性关系)(ptttE或由于材料的加载曲面不仅与应力状态有关还与材料的整个变形历史有关，因此一般地，应力不仅与应变有关，还与材料的整个变形历史有关。,klijij（1）固定时，应力与应变有一一对应的关系（此时为弹性）,klijij（2）在直角坐标系中，应力应变之间的率关系或增量关系可写为PijklijklijPijklijklijML（3）当固定时，式中klijijklklijijklML,是两个四阶弹性张量，正定而且对称。klijijkljiklijklklijijkljiklijklMMMMLLLL（4）而(3)式中ijpijklijkleijM,ijpijklijkleijL,分别称为弹性应力率和塑性应力率分别称为弹性应变率和塑性应变率PijklijklijPijklijklijML两个四阶弹性张量有互逆关系：jpiqjqipklpqijklklpqijklLMML21（5）对于弹性张量为四阶各向同性弹性张量时，有jkiljlikklijijkljkiljlikklijijklEEML210（7）其中)1(2,)21)(1(0EE（8）称为拉梅常数。在弹性状态，由（3）和（7）式有kljkiljlikklijklijklijkljkiljlikklijklijklijEEML210（9）kkijijijklklijjlikijEEE1211（10）可以得到常用的表达式)(332211ijkkijklklijkljlikijkljkiljlik22kkijijklklijjlikijEEE111从上式，注意到应力偏量和应变偏量的定义还可得kkkkijijEsEe211（11）作业ijijsEe1对于偏应力－偏应变关系的方程因为01kkkksEe一般地，6个方程中只有5个方程是独立的。§4.2应变空间中的加载曲面和加、卸载准则应变空间中的加载曲面应力空间中的加载曲面是（见§3.8（68）式）0,ijf当固定时，应力与应变有一一对应的关系，即,klijij于是有0,,,,klklijijgff（12）上式表示对于任意固定的内变量，应力空间中的加载曲面可由应变空间中的一个曲面来描述，即存在一个应变空间中的加载曲面。反之，当固定时，应力与应变有一一对应的关系，由，可有0,klijij0,,,,klklijijfgg（13）由（12）、（13）式，可得ijijklklijijklfLfgijijklklijijklgMgf（14）（15）与应力空间中加载曲面的外法线向量重合。ijg与应变空间中加载曲面的外法线向量重合。ijf于是知（14）（15）两式给出了在应力空间和应变空间中加载曲面的外法线向量之间的关系。应变空间中加载曲面的一致性条件对于应变加载曲面，也可以给出一致性条件0,ijg0ggijij（16）内变量的演化方程当产生新的塑性变形时，内变量也会有所改变。假定内变量演化方程有以下的形式,ijZ将（17）式代入（16）式，解出（17）ijijgZg1令1Zg，ijijggˆ（18）gZijˆ,则内变量的演化规律可以表示为（19）应变加、卸载准则我们知道应变在加载曲面内时，没有变化。若有变化，应变必然在加载曲面上。故上式只适用于弹塑性加载过程。此时且。表示应变在加载曲面上，表示应变增量指向的增长方向（注意与的外法线重合）。0g0g0ˆijijgg0ˆijijgggijgg0ˆ,0,ˆ0ˆ,0,00ˆ,0,00,0gggZggggg因此一般有（20）0ˆ,0,ˆ0ˆ,0,00ˆ,0,00,0gggZggggg上式称为（应变空间的）加、卸载准则。它表示应变在加载曲面上（即）且增量应变指向加载曲面外部（即）时，材料才有新的塑性变形产生。0g0ˆg0ggijij0g上式也可简写为gZijˆ,（21）其中0ˆ,ˆ0ˆ,0ˆgggg应力加载准则与应变加载准则的关系在应力空间中加载准则可写为ijijffˆ（22）0ˆf对应加载，0ˆf对应中性变载，0ˆf对应卸载。由于塑性应变率（见（3）式）ggZijijijPijˆˆˆ（23）在应力空间中加载准则可写为ijijffˆ（22）式中，Zijijˆ。弹塑性加载时PklklijklijijijMgggˆ（这里用到（3）式）Pklijklklgf（用到了（15）式）ggfijijklklˆˆ（用到了（23）式）gfgggfijijˆˆˆˆˆˆ（24）ijijgˆ1（25）于是得到应变加载准则描述的应力加载准则。当按应变加载准则判断为弹塑性加载时0g0ˆg0ˆ0f0ˆ0f0ˆ0f材料处于强化状态，加载曲面扩大加载曲面不变，理想塑性材料（0ˆg，不是中性变载）塑性变形在增加，但应力加载准则无法判断（失效）0g0ˆijijgg因此，应变加载准则的适用范围比应力加载准则的适用范围要宽。§4.3有关材料性质的几个假设一、稳定材料的假设当应力的单调变化引起应变的同号单调变化，或反过来说，应变的单调变化引起应力的同号单调变化时，称材料是稳定的。0)1()2()1()2(ijijijij（26）或0ijijdd（27）)1()2()1()2()1()1()2()2(ijijijijijijijijd)1()2()1()2()1()1()2()2(ijijijijijijijijd（28）（29）证明（26）式和（27）式的等价性如果（27）式成立0ijijdd设应力沿直线路径单调地由)1(ij变化到)2(ij，则有)10()()1()2()1(ijijijij)0()()1()2(dddijijij0)1()1()2()1()2(ijijijijijijijijijddd01)2()1()2()1()2(ijijijijijijijijijddd0)()1()2(ijijijdd将上两式从状态（1）到状态（2）积分，有0)2()1()1()1()2()1()2(ijijijijijijijd（30）0)2()1()2()1()2()1()2(ijijijijijijijd（31）而如果（26）式成立0)1()2()1()2(ijijijij0)1()1()1()1(ijijijijijijijijdddd知（26）式成立。知（27）式成立。以上证明了（26）、（27）两式等价证明（28）、（29）两式成立ijijijijijijijijijijddd)1()1()1()1(ijijijijijijijijijijddd)2()2()2()2(由)1()1()1()1()1()2()1()2()1()1()2()1(ijijijijijijijijijijijijd)1()2()1()2(ijijijij)1()2()1()2()2()2()2()2()2()2()2()1(ijijijijijijijijijijijijd)1()2()1()2(ijijijij由于)2()1()1()2()1()1()1()2()1()2(ijijijijijijijijijijdd)2()1()2()2()1()2(ijijijijijijdd（32）由（30）式，有0)2()1()1()1()2()1()2(ijijijijijijijd0)2()1()1(32ijijijd）式注意到（0)2()1()1()2()1(ijijijijijd证得（29）式右端。又由（31）式，有0)2()1()2()1()2()1()2(ijijijijijijijd0)2()1()2(32ijijijd