辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三数学上学期期末考试试题-理科

辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三数学上学期期末考试试题理时间：120分钟分值：150分一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．复数z满足1iiz，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合22Axyxx，2320Bxxx，R表示实数集，则下列结论正确的是（）A．ABB．ABRðC．BARðD．BARð3．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是（）A．34B．23C．12D．134．设0534a．，0443b．，334loglog4c，则（）A．acbB．cabC．cbaD．abc5．若实数x，y满足约束条件102201xyxyy，则2zxy的最大值是（）A．3B．7C．5D．16．在等差数列na中，1581aaa，925aa，则5a（）A．4B．5C．6D．77．偶函数fx在,0上是增函数，且11f，则满足231xf的实数x的取值范围是（）A．1,2B．1,0C．0,1D．1,18．执行如图所示的程序框图，若输入5n，4A，1x，则输出的A的值为（）A．2B．1C．3D．29．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．90B．72C．68D．6010．已知ABC△中，π2A，1ABAC，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则BQCP的最小值为（）A．4B．2C．1D．011．过双曲线22221,0xyabab的左焦点F作圆222xya的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P．若线段PF的中点为M，O为坐标原点，则OMMT与ba的大小关系是（）A．OMMTbaB．OMMTbaC．OMMTbaD．无法确定12．已知函数,ln1,0e0xxxfxxx，函数1egxffx零点的个数为（）A．3B．4C．1D．2二、填空题(每小题５分，每题５分共２０分)13．723xxx的展开式中4x的系数是_________(用数字作答)．14．过抛物线24xy的焦点F作直线，交抛物线于111,Pxy，222,Pxy两点，若126yy，则12PP__________．15．若241xy，则2xy的取值范围为_____．16．已知函数32fxxax在1,1上没有最小值，则a的取值范围是__________．三．解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（12分）已知函数2π3sin3πcosπcos2fxxxx．（1）求函数fx的单调递增区间；（2）已知在ABC△中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若32fA，2a，4bc，求b，c．18．（12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）年龄15,2525,3535,4545,5555,6565,75频数1030302055赞成人数825241021（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计（2）若从年龄在55,65，65,75的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：20PKk0.050.0100.0050.0010k3.8416.6357.87910.828参考公式：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd．19．（12分）如图所示，在四棱锥EABCD中，ABCD∥，90ABC，224CDABCE，120BCE，25DE．（1）证明：平面BCE平面CDE；（2）若4BC，求二面角EADB的余弦值．20.（12分）已知椭圆222210xyabab右焦点1,0F，离心率为22，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标．21.（12分）已知函数21ln2fxxax；（1）当0a时，0x，使0fx成立，求a的取值范围；（2）令1gxfxax，1,ea，证明：对1x，21,xa，恒有121gxgx．选做题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为3cossinxy，（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πsin224．（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）设P为曲线1C上的动点，求点P到2C上点的距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数212fxxx．（1）求不等式2fx的解集；（2）若对于任意xR，不等式2112fxtt恒成立，求实数t的取值范围．高三期末数学试卷答案（理）一、选择题题号123456789101112答案ABDCBCADBBAC二、填空题13、8414、815、,216、1,三、解答题17.（1）∵2π3sin3πcosπcos2fxxxx，∴231cos2π13sincossinsin2sin22262xfxxxxxx，由πππ2π22π,262kxkkZ，函数fx的单调递增区间是πππ,π63kkkZ．（2）由32fA，得π13sin2622x，πsin216x，∵0πA，∴022πA，ππ11π2666A，ππ262A，π3A，∵2a，4bc①，根据余弦定理得，2222242cos3163bcbcAbcbcbcbcbc，∴4bc②，联立①②得2bc．18.（1）根据频数分布，填写2×2列联表如下；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成135770不赞成171330合计3070100计算观测值2221001313175714.51210.82830703070nadbcKabcdacbd，对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”；（2）根据题意，X所有可能取值有0，1，2，3，22342255CC9050CCPx，112212334422425555CCCCC12125CCCCPx，112212324422225555CCCCC3210CCCCPx，21242255CC1325CCPx；∴X的分布列是：X0123P9501225310125∴X的期望值是912312701235025102525EX19.（1）证明：因为ABCD∥，90ABC，所以CDBC．因为4CD，2CE，25DE，所以222CDCEDE，所以CDCE，因为BCCEC，所以CD平面BCE．又CD平面CDE，所以平面BCE平面CDE．（2）以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，则4,0,2A，4,0,0B，1,3,0E，0,0,4D，所以4,0,2AD，5,3,2AE，设平面ADE的法向量为1,,xyzn，则1100ADAEnn，即4205320xzxyz，令1x，解得332yzx，即11,33,2n，显然平面ABD的一个法向量为20,1,0n，所以1212123336cos842,1nnnnnn，所以二面角EADB的余弦值为368．20.（1）由题意：1c，22ca，∴2a，1bc，则椭圆的方程为2212xy．（2）∵AB，CD斜率均存在，∴设直线AB方程为1ykx，再设11,Axy，22,Bxy，则有1212,122xxxxMk，联立得221220ykxxy，消去y得2222124220kxkxk，∴212221224122212kxxkkxxk，即2222,1212kkMkk，将上式中的k换成1k，同理可得222,22kNkk，若22222122kkk，解得1k，直线MN斜率不存在，此时直线MN过点2,03；下证动直线MN过定点2,03P，若直线MN斜率存在，则22224222333122222221122MNkkkkkkkkkkkkk，直线MN为222322212kkyxkkk，令0y，得222222212312333222kkxkkk，综上：直线MN过定点2,03．21.（1）当0a，由'afxxx，令'0fx，∴xa，列表得：x0,aa,a'fx0fx减函数极小值增函数这时minln2afxfaaa．∵0x，使0fx成立，∴ln02aaa，∴ea，∴a的取值范围为,e．（2）因为对1,xa，1'0xxagxx，所以gx在1,a内单调递减，所以212111ln22gxgxggaaaa．要证明121gxgx，只需证明211ln122aaa，即证明13ln022aaa．令13ln22haaaa，221133111'022332haaaa，所以13ln22haaaa在1,ea是单调递增函数，所以e3e131022eee2ehah，故命题成立．22.（1）由曲线1C：3cossinxy得cos3sinxy，即曲线1C的普通方程为2213xy；由曲线2C：πsin224得2sincos222，即曲线2C的直角坐标方程为40xy．（2）由（1）知椭圆1C与直线2C无公共点，椭圆上的点3cos,sinP到直线40xy的距离为2π2sin43cossin4322d，∴当2πsin13时，d的最小值为2．23.（1）由题意