第三章应力分析应变分析和屈服条件-第一部分.

第三章应力分析、应变分析和屈服条件§3.1应变张量和应力张量§3.2应变张量和应力张量的不变量§3.3偏应变张量和偏应力张量§3.4屈服条件§3.5几个常用的屈服条件§3.6屈服条件的试验验证§3.1应变张量和应力张量一、应力张量及其分解(1)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：xzxyx,,y面的应力：yzyxy,,z面的应力：zyzxz,,xyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx(2)应力张量一点的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成一个二阶对称张量，称为应力张量。)13(zzyzxzyzyyxyxzxyxxzyzzyzyxyxzxyx或上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法定义：写法：采用张量下标记号的应力写法)23(,333231232221131211jiij把坐标轴x、y、z分别用x1、x2、x3表示，或简记为xj(j=1,2,3),(3)斜截面上的应力与应力张量的关系在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。N是单位向量，其方向作弦为,,,321lll则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量之间的关系ij321333231232221131211321lllSSsNNN1x2x3xONNS采用张量下标记号，可简写成)(=3-3jijNilS说明：i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于这称为求和约定；ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；,31j(4)应力张量的分解1.静水“压力”：===332211在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈服、不会产生塑性变形。应力不产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分反映静水“压力”：2.平均正应力：)(=)++(=4-33131332211kkm3.应力张量的分解：应力张量可作如下分解：mmmmmm333231232221131133323123222113121112000000用张量符号表示：)53(,ijijmijs其中：)63(,,0,,1jijiij当当100010001ij或应力球张量ij——单位球张量ijm——应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力而没有剪应力的状态。应力偏张量ijS——应力偏张量mmmijm000000mmmijS333231232221131211——与单元体的体积变形有关说明：材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的。应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。3.2应变或应力张量的不变量（1）主应力1.一点的主应力与应力主向若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；0NN（2）应力主向主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为，则它在各坐标轴上的投影为iNilS=)(=3-3jijNilS代入（3-3）式)(.=)(7-30-jijijl.=,=++11232221iilllll即应有)83(,0ijij)83(0333231232221131211或即将这个行列式展开得到)93(,032213JJJ其中)123(.)113(,21)103(,321ijkiikkkiikkJJJ2.应力张量的不变量当坐标轴方向改变时,应力张量的分量均将改变,但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。ij321JJJ、、)123(.)113(,21)103(,321ijkiikkkiikkJJJ可以证明方程（3-9）有三个实根，即三个主应力321、、当用主应力来表示不变量时)123()113(),()103(,321313322123211JJJ应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值（称为主偏应力）为：)133()3,2,1(,jsmjj一、应力偏张量不变量：)163()153()(21)()143(03321323222113322123213211sssJsssssssssJsssJM3.3偏应力应变张量及其不变量其中应力偏张量的第二不变量今后用得最多。2J再介绍它的其他几个表达式：)193(][31)183(],)()()[(61)173()222(13322123222122132322212,21231223212233222211212JJssssssssJijij在第四章中将看到，在屈服条件中起重要作用。至于可以注意它有这样的特点：不管的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有。这暗示在屈服条件中不可能起决定作用。2Jijs03J3J3J说明：二、等斜面上的应力等斜面：通过某点做平面，该平面的法线与三个应力主轴夹角相等123)203(3/1321lll八面体面：满足（3-20）式的面共有八个，构成一个八面体，如图所示。等斜面常也被叫做八面体面。若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有)213()(31)()()(23222123322221128lllF设在这一点取坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦为321xxx,,八面体面素上的正应力为)223()(3213123232222118mlll八面体面素上的剪应力为.)()()(2132322213128288F)233(.2328J说明：八面体面上的应力向量可分解为两个分量：i)垂直于八面体面的分量，即正应力，它与应力球张量有关，或者说与有关；m81Jii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力，与应力偏张量的第二不变量有关。2328J2J三、等效应力1.定义：如果假定相等的两个应力状态的力学效应相同，那么对一般应力状态可以定义：2J)243(3213232221212J——在塑性力学中称为应力强度或等效应力注意：这里的“强度”或“等效”都是在意义下衡量的2J2.等效应力的特点与空间坐标轴的选取无关；各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时数值不变，即与应力球张量无关；全反号时的数值不变。)3,2,1(jj3.空间ijS空间指的是以的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；ijSijS标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应力）状态的距离或差别的大小。ijijssJ212联系到（3-17）式，不难看出代表空间的中的广义距离ijS4.等效剪应力,0,0,0321联系到（3-19）式，可知22J2J或也可以定义,剪应力强度或等效剪应力:213232221612J5.八面体剪应力、等效应力和等效剪应力之间的换算关系为：)263(2331,3323,323232282828JJJ说明：这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（在意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的“强度”作出定量的描述和比较。'2J四、三向Mohr圆和Lode应力参数321O3P1P2PM图3-3在平面上三点中的任意两点为直径端点，可作出三个Mohr圆，如图3-3.其半径为：)0,(),0,(),0,(332211PPP.22,22,22231131323232121PPPPPP——称为主剪应力——最大剪应力321、、max1.三向Mohr圆3s2s1sO3P1P2PM图3-4mO2.Lode应力参数[分析]由图3-4可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三个Mohr圆一起沿轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变Mohr圆的大小。[结论]轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是Mohr圆本身的大小。3s2s1sO3P1P2PM图3-4mO若将轴平移到，并使'OmOO=)++(='32131mOO=)++(='32131则：,,,333223111sPOsPOsPOmmm移轴后的三向Mohr圆正是描述应力偏张量的三向Mohr圆，如图所示。M点是P1P2线段的中点131-21MP=)(=max)(=3122--221MPLode在1925年引进的参数Lode应力参数)273(,22313123131212sssssMPMP当P2点由P3移向P1时，的变化范围是：11下面三个特殊情况是常用到的：i)单向拉伸：ii)纯剪切：iii)单向压缩：1,0,0132则.0,0,0,01312则.1,0,0321则只由P1、P2、P3三点的相对位置决定而与坐标原点的选择无关，故是描述应力偏张量的一个特征值。-综上所述，OO’表示了一点应力状态的球张量部分；而以O’为坐标原点的三向Mohr圆（由和所确定）则表示了应力的偏张量部分。max五、应力空间和主应力空间1.应力空间一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力空间。考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。2.主应力空间（Haigh-Westergaard空间）它是以为坐标轴的假想的三维空间，这个空间中的一个点，就确定了用主应力所表示的一个应力状态。321、、321、、2.主应力空间的性质直线L平面L直线：主应力空间中过原点并坐标轴成等角的直线。其方程为显然，L直线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。.321平面：主应力空间中过原点而与L直线垂直的平面。其方程为由于平面上任一点的平均正应力为零，所以平面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形的应力状态。.0321直线L平面P''P'P主应力空间中任意一点P所确定的向量总可以分解为：OP)283('OPOPOP这样任意应力状态就被分解为两部分，分别与应力球张量和应力偏张量部分对应。小结物体内一点的应力状态用应力张量描述，它又可分解为应力球张量和应力偏张量两个部分。塑性变形只与应力偏张量有关。三向Mohr应力圆和主应力空间为应力张量的分解提供了几何形象和数学工具。这样取的目的