江苏省南通2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题含附加题(PDF版)

数学试卷第1页共6页2020届江苏省南通高三尖子生班3月调研考试数学试题数学（一）2020.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题卡相应位置上．．．．．．．．1．已知集合0(1)2,0,12xxAxyBxxZxxx++===--，则ABÇ=．2．在“一带一路”（英文：TheBeltandRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．3．复数z满足13iz=+，i为虚数单位，－z为复数z的共轭复数，则复数42zz+的模为．4．随机掷出5个标准的骰子，得到5个点数之和是11的概率为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的a的值是．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.本试卷包含填空题（第1题--第14题）、解答题（第15题--第20题）.本卷满分160分考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在规定位置.3.请在答题卡上按顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色签字笔.注意字体工整，笔记清楚.4.如需作图，需用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.保持答题卡卡面清洁，勿折叠、破损.一律不准用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔数学试卷第2页共6页6．曲线2233xy-=与228yxx=--的四个交点所在圆的方程是．7．已知()π0,2aÎ，()π1cos33a+=，则()πcos26a+的值是．8．在矩形ABCD中，3,4ABBC==，点E在边BC上，点F在边CD上.若2EF=，则AEAF×uuuruuur的最小值是．9．设椭圆22221(0xyabab+=）的左焦点为F，过椭圆上一点A作椭圆的切线交y轴于点Q若,46QFOQFAppÐ=Ð=,则此椭圆的离心率为．10．在正方体盒子里放入四个半径为1的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球都和其他球相切，且它们都和正方体的三个面相切.则这个正方体的棱长为．11．已知函数2()3fxxxa=+--在区间[]1,1-上最大值为2，正数a=．12．定义数列{}na，先给出11a=，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是231,2aa==，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1...）设nS是na的前n项和，则2020S=13．已知222:2,(0)Exyaa+=，12,FF分别为其左右焦点，P为E上任意一点，D为12FPFÐ平平分线与x轴交点，过D作1,2PFPF垂线，垂足分别为M,N,求12DMNFPFSS的最大值．14．已知,,,,,(0,)xyzRabgp+，且222346,2xyzabgp++=++=，则sinsinsinxyxzyzabg++的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）如图，已知,,,ABCD四点共面，且=1CD,2BC=,4AB=,120ABCÐ=,27cos7BDCÐ=.（1）求sinDBCÐ；（2）求AD.数学试卷第3页共6页16.（本题满分14分）如图,在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，,ACBD相交于点O,EF∥AB,2ABEF=,平面BCF^平面ABCD,BFCF=,G是BC中点.(1)求证：直线OG∥平面EFCD(2)求证：直线AC^平面ODE17．（本题满分14分）如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中,,,ABBCEFDFDFAB^^^,,CEF三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得93,4,4ABkmBCkmDFkm===33,.2FEkmECkm==若以,OAOD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，则河岸DE可看成是曲线xbyxa+=+（其中,ab是常数）的一部分，河岸AC可看成是直线ykxm=+（其中k，m为常数）的一部分.(1)求,,,abkm的值(2)现准备建一座桥MN,其中M,N分别在DE,AC上，且MNAC^,M的横坐标为t.1写出桥MN的长l关于t的函数关系式()lft=，并标明定义域；2当t为何值时l取到最小值?最小值是多少?数学试卷第4页共6页18．（本题满分16分）平面直角坐标系xoy中，点00(,)Pxy是椭圆:C22182xy+=上任一点，直线(0)ykxmkm=+¹截222:14xCy+=所得的弦MN被OP平分且01,1PMNmyS-=（1）判断四边形OMPN的形状；（2）求PM与2C的公共点数.19．（本题满分16分）已知函数()(24)ln38fxxaxxa=--+（0a³）.（1）若0a=，求函数)(xf在1x=处的切线方程；（2）若()fx有两个不同的零点12,xx.①求a的取值范围；②证明:当120xex时，12543eaxx++．20．（本题满分16分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为(,)LMN操作。设数列{}na是无穷非减正整数数列。（1）若12,nnanN-+=Î，{}na进行(2,1)L操作后得到{}nb，设nnab+前n项和为nS①求nS.②是否存在,,pqrN+Î，使得,,PqrSSS成等差？若存在，求出所有的(,,)pqr；若不存在，说明理由.（2）若,nannN+=Î，对{}na进行(4,0)L与(4,1)L操作得到{}nb，再将{}nb中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到{}nc证明：每个大于1的奇平方数都是{}nc中相邻两项的和.数学试卷第5页共6页2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题数学（二）附加题2020.021．[选做题]（在A、B、C三小题中选做2题，若多做按前两题计分，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内.）A．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1214A=-，向量32a=，计算5Aa．B．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的方程为42cos()4prq=-，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为11xtytì=+ïí=-ïî（t为参数），求直线l被C截得的弦AB的长度.C.（选修4-5：不等式选讲）已知,,abc为正数，且1abc=，求证333()()()24abacbc+++++³.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.6.本试卷包含填空题（第1题--第14题）、解答题（第15题--第20题）.本卷满分160分考试时间为120分钟.7.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在规定位置.8.请在答题卡上按顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色签字笔.注意字体工整，笔记清楚.9.如需作图，需用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.10.保持答题卡卡面清洁，勿折叠、破损.一律不准用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔数学试卷第6页共6页（第22题）[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥PABC-中，ACBC^，且2ACBC==，,DE分别为,ABPB中点，PD^平面ABC，3PD=．（1）求直线CE与直线PA夹角的余弦值；（2）求直线PC与平面DEC夹角的正弦值．23．（本小题满分10分）（1）设数列{}na满足2012,,()nnaaannN+-==-Î,用数学归纳法证明,()nannNÎ.（2）证明：对任意自然数n，都有123......2n+++．数学试卷第1页共12页2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题数学（一）（参考答案）2020.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题卡相应位置上．．．．．．．．1．已知集合0(1)2,0,12xxAxyBxxZxxx++===--，则ABÇ={2}-．2．在“一带一路”（英文：TheBeltandRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为85．3．复数z满足13iz=+，i为虚数单位，－z为复数z的共轭复数，则复数42zz+的模为413．4．随机掷出5个标准的骰子，得到5个点数之和是11的概率为2057776．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的a的值是129．6．曲线2233xy-=与228yxx=--的四个交点所在圆的方程是()224(2)49xy-+-=．7．已知()π0,2aÎ，()π1cos33a+=，则()πcos26a+的值是429．8．在矩形ABCD中，3,4ABBC==，点E在边BC上，点F在边CD上.若2EF=，则AEAF×uuuruuur的最小值是15．9．设椭圆22221(0xyabab+=）的左焦点为F，过椭圆上一点A作椭圆的切线交y轴于点Q若,46QFOQFAppÐ=Ð=,则此椭圆的离心率为63．数学试卷第2页共12页10．在正方体盒子里放入四个半径为1的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球都和其他球相切，且它们都和正方体的三个面相切.则这个正方体的棱长为105-．11．已知函数2()3fxxxa=+--在区间[]1,1-上最大值为2，正数a=54或3．12．定义数列{}na，先给出11a=，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是231,2aa==，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1...）设nS是na的前n项和，则2020S=399013．已知222:2,(0)Exyaa+=，12,FF分别为其左右焦点，P为E上任意一点，D为12FPFÐ平平分线与x轴交点，过D作1,2PFPF垂线，垂足分别为M,N,求12DMNFPFSS的最大值14．14．已知,,,,,(0,)xyzRabgp+，且222346,2xyzabgp++=++=，则sinsinsinxyxzyzabg++的最大值为6．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）如图，已知,,,ABCD四点共面，且=1CD,2BC=,4AB=,120ABCÐ=,27cos7BDCÐ=.（1）求sinDBCÐ；（2）求AD.解：（1）在△BDC中，因为27cos7BDCÐ=，所以21sin7BDCÐ=．由正弦定理知=sinsinDCBCDBCBDC，所以sin21sin=14DCBDCDBCBCÐ=．……………………5分（2）在△BDC中，由余弦定理知2222cosBCDCDBDCDBBDC=+-，故2274127DBDB=+-，解得7DB=或377DB=-（舍）．…………………8分数学试卷第3页共12页由已知得DBCÐ是锐角，又21sin=14DBCÐ，所以57cos=14DBCÐ.所以cos=cos(120)=cos120cossin120sinABDDBCDBCDBCooo157321=214214-×+×7=-14……………………11分在△ABD中，由余弦定理知222=2cosADABBDABBDABD+-7=167247()2714+-=，解得33AD=．……………………………14分16.（本题满分14分）如图,在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，,ACBD相交于点O,EF∥AB,2ABEF=,平面BCF^平面ABCD,BFCF=,G是BC中点.(1)求证：直线OG∥平面EFCD(2)求证：直线AC^平面ODE数学试卷第4页共12页17．（本题满分14分）如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，