2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

-1-2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A=BAxxBxx则,30,21A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)(2)若a实数，且aiiai则,312A.-4B.-3C.3D.4(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是2700260025002400230022002100200019002013(年)201220112010200920082007200620052004A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。（4）已知向量ababa）则（2),2,1(),1,0(A.-1B.0C.1D.2(5)设项和，的前是等差数列naSnn若5531,3Saaa则A.5B.7C.9D.11(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.81B.71C.61D.51(7)已知三点)32()30(),01(，，，，CBA,则ABC外接圆的圆心到原点的距离为-2-A.35B.321C.352D.34(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为是否是否A.0B.2C.4D.14(9)已知等比数列24531),1(4,41aaaaaan则满足CA.2B.1C.21D.81（10）已知A,B是球O的球面上两点，为该球面上动点，CAOB,90若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A.36πB.64πC.144πD.256π(11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,xfxfBAPxBOPxPODCBA开始输入a,babb=b-aa=a-b输出a结束ab-3-DCBAππ3π4π2π43π4π4π23π42222ππ2π4π3π4π2π4XOYXYOXOYYXO（12）设函数的范围是成立的则使得xxfxfxxxf)12()(,11)1ln()(2A.)1,31(B.),1()31,(C.)31,31(D.),31()31,(第二卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分（13）已知函数axaxxf），则的图像过点（4,1-2)(3。（14）若x,y满足约束条件的最大值为则yxzyxyxyx2,012,012,05。（15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为xy21，则该双曲线的标准方程为。（16）已知曲线xxyln在点（1,1）处的切线与曲线axaaxy相切，则1)2(2。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）.2,DCBDBACADBCDABC平分上的点，是中，（Ⅰ）求;sinsinCB（Ⅱ）若.,60BBAC求-4-18.（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.400.0050.0100.035A地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）0.0050.0100.035B地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意-5-估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19.（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCDABCD中AB=16,BC=10,18AA,点E,F分别在1111,ABDC上,114.AEDF过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.FED1C1B1A1DCBA（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22,点2,2在C上.（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.21.（本小题满分12分）已知ln1fxxax.-6-（I）讨论fx的单调性；（II）当fx有最大值,且最大值大于22a时,求a的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明EF∥BC.（II）若AG等于⊙O的半径,且23AEMN,求四边形EDCF的面积.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数,且0t）,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:23cos.CC（I）求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,abcd均为正数,且abcd.证明：（I）若abcd,则abcd；NMGOFEDCBA-7-（II）abcd是abcd的充要条件.2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学答案一、选择题1、选A2、解：因为.4,42)1)(3(2aiiiai所以故选D3、选D4、选B5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531AaaaSaaaa故选所以6、解：如图所示，选D.7、解：根据题意，三角形ABC是等边三角形，设外接圆的圆心为D，则D（1，332）所以，.32137341OD故选B.8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以a=b=2，故选B.9、解：因为),1(4,414531aaaaan满足所以，.21241,2,2),1(4123144424qaaqqaaaaa所以，所以又解得故选C.10、解：因为A,B都在球面上，又为该球面上动点，CAOB,90所以三棱锥的体积的最大值为3661213132RRR，所以R=6，所以球的表面积为S=14442Rππ，故选C.11、解：如图，当点P在BC上时，xPODCBA-8-,tan4tan,tan4,tan,22xxPBPAxPAxPBxBOP当4x时取得最大值51，以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB51.又函数)(xf不是一次函数，故选B.12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2xxxxf.131,)12(,12)12()(22xxxxxxfxf解得故选A.二、填空题13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422kkkyx）代入方程，解得，点（1422yx双曲线的标准方程为16、解：.122,11'xyxy，切线方程为切线的斜率为.8120.08,08,021)2(12222axyaaaaaaxaxxaaxyxy所以与切线平行，不符。时曲线为或解得由联立得与将四、解答题17、解：（Ⅰ）由正弦定理得,sinsinABACCB再由三角形内角平分线定理得，21BDDCABAC.21sinsinCB（Ⅱ）120,60CBBAC.30,33tan,sin2)120sin(,sin2sin.21sinsin1BBBBBCCB展开得）得由（18、解：（1）B地区频率分布直方图如图所示-9-0.0050.0100.035B地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分A地区用户评价意见较分散，B地区用户评价意见相对集中。（2）A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6，B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19、解：（I）在AB上取点M,在DC上取点N，使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF，即平面α。（II）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.971261041121EMBBAMEASSVV20、解、（I）如图所示，由题设得,22ac又点的坐标满足椭圆的方程，所以12422ba，联立解得：.148,4,82222yxCba的方程为：所以切线（II）设A,B两点的坐标为.,,,,,2211mnknmMyxyxom）的坐标为（点）），（（,82,8222222121yxyx则上面两个式子相减得：.2222121.0)()(22121121221222122nmnmyyxxxxyyxxyy变形得FED1C1B1A1DCBAC(2,2)YXOMBA-10-.21)2(1212mnnmmnxxyykkoml（定值）21、解：已知ln1fxxax..),1()1,0)(00)(0.1)(')1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当aaxfaxfaaxxf（II）由（1）知，当.ln1)1(1)(0aaafaxxfa时取得最大值在时，函数.01ln,22ln1aaaaa整理得由.1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(',00,11',1ln)(）即上述不等式即函数。又）是增，在（）（则设aagaggxgxgxaxxgxxxg选做题：22、（I）证明：由切线的性质得AE=AF，所