多元函数的极值与最值

第九章一、多元函数极值二、多元函数最值三、条件极值的求法多元函数的极值与最值高等数学22目录上页下页返回结束xyz一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极大值;在点(0,0)有极小值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf)),(),((00yxfyxf或2243yxz+=22yxz+−=yxz=),(),(00yxyxfz在点=的某去心邻域内有xyzxyz高等数学33目录上页下页返回结束说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000=′=′yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有),(),(00yxyxfz在点=存在),(),(00yxyxfz在点因=在),(0yxfz=0xx=故在),(0yxfz=0yy=yxz=高等数学44目录上页下页返回结束时,具有极值则:1)当定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.证明略.若函数的在点),(),(00yxyxfz=0),(,0),(0000==yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx===02−BAC02−BAC02=−BAC高等数学55目录上页下页返回结束例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC=),(yxfx09632=−+xx=),(yxfy0632=+−yy的极值.求二阶偏导数,66),(+=xyxfxx,0),(=yxfyx66),(+−=yyxfyy,12=A,0=B,6=C,06122×=−BAC5)0,1(−=∴f,0Axyxyxyxf933),(2233−++−=高等数学66目录上页下页返回结束在点(−3,0)处不是极值;在点(−3,2)处为极大值.,66),(+=xyxfxx,0),(=yxfyx66),(+−=yyxfyy,12−=A,0=B,6=C,06122×−=−BAC)0,3(−∴f6,0,12−==−=CBA31)2,3(=−∴f,0)6(122−×−=−BAC,0A在点(1,2)处不是极值;6,0,12−===CBA)2,1(f∴,0)6(122−×=−BACABC高等数学77目录上页下页返回结束例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)是二者的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,022时,因此z(0,0)不是极值.因此当≠+yx222)(yxz+=0)0,0(=z为极小值.正负0xy33yxz+=222)(yxz+=在点(0,0)zo并且在(0,0)都有02=−BAC33yxz+=可能为0)()0,0()0,0(222=+=yxz高等数学88目录上页下页返回结束二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点⎩⎨⎧驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大)(大)依据高等数学99目录上页下页返回结束例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yx(2=Ayxyxy2⋅+)yxx2⋅+()yxyx222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛00yx0)(222=−=xxyA0)(222=−=yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233=⋅高等数学1010目录上页下页返回结束例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为α,=Aαcos2224xx+−x224−+(21αsin)x⋅ααααsincossin2sin2422xxx+−=x224−αx积最大.)0,120:(2παxD为问怎样折法才能使断面面高等数学1111目录上页下页返回结束αcos24xαcos22x−0)sin(cos222=−+ααx=令xAαsin24αsin4x−0cossin2=+ααx=αA解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin≠α0≠xααααsincossin2sin2422xxxA+−=)0,120:(2παxD0cos212=+−αxx0)sin(coscos2cos2422=−+−ααααxx(cm)8,603===xoπα高等数学1212目录上页下页返回结束三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件=yxϕ的极值求函数),(yxfz=)(0),(xyyxψϕ==中解出从条件))(,(xxfzψ=高等数学1313目录上页下页返回结束,0),(下在条件=yxϕ方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记.),(的极值求函数yxfz=0),(=yxϕ,)(xyψ=))(,(xxfzψ=例如,故0dddd=+=xyffxzyx,ddyxxyϕϕ−=因0=−yxyxffϕϕyyxxffϕϕ=故有λ−=高等数学1414目录上页下页返回结束引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.0=+=xxxfFϕλ0=+=yyyfFϕλ0==ϕλF利用拉格极值点必满足0=+xxfϕλ0=+yyfϕλ0),(=yxϕ则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfFϕλ+=高等数学1515目录上页下页返回结束推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件),,(zyxfu=,0),,(=zyxϕ0),,(=zyxψ),,(),,(),,(21zyxzyxzyxfFψλϕλ++=021=++=xxxxfFψλϕλ021=++=yyyyfFψλϕλ021=++=zzzzfFψλϕλ01==ϕλF01==ψλF高等数学1616目录上页下页返回结束例5.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件=xF02=++zyyzλ=yF02=++zxxzλ=zF0)(2=++yxyxλ=λF00=−Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问0Vzyx=yxzyzxS++=)(2)()(20VzyxyxzyzxF−+++=λxyz高等数学1717目录上页下页返回结束得唯一驻点,2230Vzyx===3024V−=λ由题意可知合理的设计是存在的,因此,当高为长、宽为高的2倍时，所用材料最省.,340Vxyz思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,30Vzyx===2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:)()(20VzyxyxzyzxF−+++=λ2长、宽、高尺寸相等.高等数学1818目录上页下页返回结束解：)12(),,(23−+++=zyxzyxzyxFλ令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−++=′=+=′=+=′=+=′0120020323322zyxFyxFyzxFzyxFzyxλλλλ.691224623max=⋅⋅=u则例6.将正数12分成三个正数x,y,z之和,使得为最大.zyxu23=解得唯一驻点(6,4,2),故最大值为高等数学1919目录上页下页返回结束解：设为椭球面上一点,过该点的切平面为),,(000zyxP+−)(020xxax+−)(020yyby0)(020=−zzcz1202020=⋅+⋅+⋅czzbyyaxx化简得该切平面在三个轴上的截距各为,02xax=,02yby=02zcz=例7.在第一卦限内作椭球面1222222=++czbyax的切平面,使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.高等数学2020目录上页下页返回结束所围四面体的体积000222661zyxcbaxyzV==,lnlnln000zyxu++=F+++=000lnlnlnzyx)1(220220220−++czbyaxλ令0,0,0,0000====λFFFFzyx由高等数学2121目录上页下页返回结束可得即⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−++=+=+=+01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxxλλλ30ax=30by=30cz=)3,3,3(cba当切点坐标为时，四面体的体积最小.23minabcV=高等数学2222目录上页下页返回结束内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法,),(yxfz=⎩⎨⎧==0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法高等数学2323目录上页下页返回结束设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,在条件),(解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题求驻点.yxfz=0),(=yxϕ),(),(yxyxfFϕλ+=0=+=xxxfFϕλ0=+=yyyfFϕλ0==ϕλF高等数学2424目录上页下页返回结束已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:CBAoyxED设C点坐标为(x,y),思考与练习21=031013−−−yxkjirrr)103,0,0(21−+=yx)0,0(14922=+yxyx则ACABS×=Δ2110321−+=yx高等数学2525目录上页下页返回结束设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.)491()103(222yxyxF−−+−+=λ092)103(2=−−+xyxλ042)103(6=−−+yyxλ049122=−−yx646.1≈S,54,53==yx,5.3,2==CDSS点击图中任意点动画开始或暂停高等数学2626目录上页下页返回结束作业P1183;4;6;10;11.高等数学2727目录上页下页返回结束备用题1.求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则,2π=++zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS=,sin2212yRS=zRSsin2213=0,0,0≥≥≥zyx设拉氏函数)2(sinsinsinπλ−+++++=zyxzyxF0cos解方程组=+λx,得32π===zyx故圆内接正三角形面积最大,最大面积为32sin322maxπ⋅=RS.4332R=0cos=+λy0cos=+λz02=−++πzyx高等数学2828目录上页下页返回结束为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示:βαsin21sin21dcbaS+=)0,0(πβπα目标函数:βαcos2cos22222dcdcbaba−+=−+约束条件:dcba,,,abcdαβ答案:,πβα=+即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以