职高数列知识点及例题(有答案)

1数列一、数列的定义：按一定顺序排列成的一列数叫做数列．记为：{an}．即{an}:a1,a2,…,an．二、通项公式：用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数．2、通项公式:an=f(n)是an关于n的函数关系．三、前n项之和：Sn=a1+a2+…+an注求数列通项公式的一个重要方法：)2()1(11nssnsannn例1、已知数列{100-3n}，（1）求a2、a3；（2）此数列从第几项起开始为负项．例2已知数列na的前n项和，求数列的通项公式：（1）nS=n2+2n；（2）nS=n2-2n-1.解：（1）①当n≥2时，na=nS-1nS=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，1a=1S=12+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴na=2n+1为所求.（2）①当n≥2时，na=nS-1nS=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，1a=1S=12-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴na=)2(32)1(2nnn为所求．注：数列前n项的和nS和通项na是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1nnnaSS时，一定要注意条件2n，求通项时一定要验证1a是否适合例3当数列{100-2n}前n项之和最大时，求n的值．分析：前n项之和最大转化为100nnaa．2等差数列1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即：)()(1Nndaann常数2.通项：dnaan)1(1，推广：dmnaamn)(．3.求和：dnnnaaanSnn2)1(2)(11．（关于n的没有常数项的二次函数）．4.中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5.等差数列的判定方法(1)定义法:)()(1Nndaann常数(2)中项法:212nnnaaa(3)通项法:dnaan)1(1(4)前n项和法:BnAnSn2练习：已知数列{an}满足：a1=2,an=a1n+3,求通项an．例1在等差数列na中,已知.,63,6,994nSaan求解:设首项为1a,公差为d,则3188639111dadada得76:)1(231863nnnnnSn或得例2（1）设{an}是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，求这个数列的首项．分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d，a，a+d3拓展：（1）若n+m=2p，则an+am=2ap．推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,,,,aaaa（下标成等差数列）（2）等和性：mnpqaaaa*(,,,,)mnpqNmnpq（3）,,,232nnnnnSSSSS组成公差为dn2的等差数列.（4）an=am+（n-m）d例1（1）已知a3+a11=20，求a7．（2）已知3a+4a+5a+6a+7a＝450,求2a+8a及前9项和9S．解由等差中项公式：3a+7a＝25a，4a+6a＝25a由条件3a+4a+5a+6a+7a＝450,得：55a＝450,∴2a＋8a＝25a＝180.9S＝199()2aa810等比数列1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.)(1为不等于零的常数qqaann2．通项公式：11nnqaa,推广形式:mnmnqaa．3．前n项和：)10(11)1()1(111qqqqaaqqaqnaSnnn且注:应用前n项和公式时,一定要区分11qq与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论．4．等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即abG2（Gac）．5．等比数列的判定方法：①定义法：对于数列na，若)0(1qqaann，则数列na是等比数列.②等比中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等比数列．例1等比数列中1a=2,3a=8，求通项公式；4解：24213qqqaannnnnnaa)2()2)(2(22)2(11或例2在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20.解解方程组可得：q4=2，111aq，解法2由nS，nS2－nS，nS3－nS2，…成等比数列计算．在等比数列na中有如下性质:（1）若n+m=2p，则anam=(ap)2。推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：14710,,,,aaaa（下标成等差数列）（2）等积性:mnpqaaaa（,,,,mnpqmnpqN）．（3）an=amqmn例1在等比数列{}na中，1633aa，3432aa，1nnaa，（1）求na；（2）若12lglglgnnTaaa，求nT.解（1）62nna（2）2111()lg222nTnn例21237aaa，1238aaa，求na.解：设{an}的公比为q，由题意知,8,721112111qaqaaqaqaa解得2,11qa或.21,41qa∴12nna或31()2nna5数列综合运用例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q．解:设等差数列的通项an=a1+(n-1)d(d≠0).根据题意得a32=a2a6即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得da211.所以.32122121123dddddadaaaq例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．解：设这四个数为：2(),,,adadaada，则2()16212adadaad解得：48ad或96ad，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1．