第三节多元函数的极值

第五节无约束极值与有约束极值正确理解无约束极值和条件极值的概念。能熟练地求出函数的无约束极值。能熟练地运用拉格朗日乘数法计算条件极值。能熟练地计算函数的最大值、最小值。能解简单的极值应用问题。本节教学要求：第四章多元函数微分学的应用请点击第五节多元函数的极值多元函数的极值无约束极值有约束极值变量替代法拉格朗日乘数法无约束极值的形式目标函数：nRXXfu,)(表现形式：XXf)(maxXXf)(min一.无约束极值设)(Xfu在nRX)U(0内有定义.若,)(Uˆ0XX总有)()(0XfXf))()((0XfXf则称)(0Xf为函数)(Xf的极大值(极小值).0X称为函数的极大点(极小点).函数的极大值和极小值统称为函数的极值.极大值和极小值的定义例例1函数221yxz在点)0,0(处取极大值.函数22yxz在点)0,0(处取极小值.例2现在对已有的结果进行分析,看能否得到一点什么.例1函数221yxz在点)0,0(处取极大值.进行分析：函数21xz(即固定)0y在点0x处取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有0)0,0(xz取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有类似地,函数(即固定)0x在点0y处21yz0)0,0(yz上半单位球面函数22yxz在点)0,0(处取极小值.例2进行分析：上半空间中的圆锥面函数22yxz在点)0,0(处偏导数不存在.固定,)0(0xy发现相应的一元函数||xz)||(yz在)0(0yx处取极值.将以上对两例的分析与极值的定义综合起来,你能得出什么样的结论？如果偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零.使偏导数不存在的点,也可能是函数的极值点.定理若在点具有偏导数,且在),(yxfz),(00yx处取极值,则必有),(00yx.0),(,0),(0000yyxfxyxf（二元可微函数取极值的必要条件）.0),(,0),(,0),(grad000000yxJfyxfyxf或该结论还可写为处的切平面方程为0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx由可微函数取极值的必要条件：0),(),(0000yxfyxfyx此时,切平面平行于xy平面.设函数在点),(00yx处可微且取),(yxf极值,则相应的曲面在点),(00yx),(yxfz下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为.0zz定理若)(Xfu在点0X具有偏导数,且在0X处取极值,则必有0)(0ixXf.),,2,1(ni（n元可微函数取极值的必要条件）该结论还可写为,0)(0XJf,0)(0Xf.0)(grad0Xf函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点,称为函数的极值可疑点.函数在其极值可疑点处,可能取极值,也可能不取极值.使函数)(Xfu零的点0X称为函数的驻点.的一阶偏导数全为这就产生了一个问题:如何判断函数在极值可疑点处是否取极值.定理(二元可微函数的极值判别法)记,),(2200yxxfA,),(200yxyxfB,),(2200yxyfC设,0),(grad)),,(U(),(00002yxfyxCyxfz:),(),(,0)1(002处取极值在点则yxyxfACB.,0;,0取极小值时取极大值时AA.),(),(,0)2(002的极值点不是则yxfyxACB.),(,0)3(002是否极值点则不能判断yxACB例3求yxxyxyxf12153),(23的极值.解联立方程组,求驻点:01260153322xyfyxfyx解之得驻点,)2,1(,)2,1(,)1,2(.)1,2(又,6xfAxx,6yfBxy,6xfCyy)(36222xyACB,012,0)()1,2()1,2(2AACB,012,0)()1,2()1,2(2AACB点)1,2(是极大点,极大值为.28)1,2(f,0)()2,1(2ACB,0)()2,1(2ACB点,)2,1()2,1(不是极值点.故)(36222xyACB点)1,2(是极小点,极小值为.28)1,2(f确定函数3322(,)339fxyxyxyx的极值点。练习求由方程222246110xyzxyz所确定的隐函数的极值。(,)zzxy练习.)(上有定义在有界闭区域设函数Xfu并与内的所有极值在求出,)(Xf从中上的所有极值进行比较在,)(Xf上的最大值和最小值.在它们就是取出最大者和最小者)(,Xf函数的最大值和最小值不一定能函数一般说来)(,Xf.值取得它的最大值和最小在由于区域的边界通常都比较复杂,较困难的一件事情.所以求多元函数的最大值和最小值是比求函数最大值和最小值的基本原则工程中遇到的函数大部分是连续的,或者能保证在所讨论的区域内,取到它的最大值或最小值.如果知道可微函数)(Xf的最大值或最小值一定在区域内达到,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点.如果,)()(CXf)(Xf为有界闭区域,则函必在上取到它的最大值和最小值.数例例4)1,0(),0,1(CBO(0,0),D内求到点在距离之平方和为最大及最小的点.解xyOCB·P,),(yxP设所求点为222||||||PCPBOP2223322yxyx所求距离之平方和为),(所在区域为所求点yxP}1,0,0|),({Dyxyxyx，设}1,0,0|),({Dyxyxyx区域：}1,0,0|),({Dyxyxyx目标函数：最值问题：,),(maxDyxf),(minDyxf22233),(22yxyxyxf所讨论的问题归结为下面的优化问题:区域:}1,0,0|),({Dyxyxyx目标函数:22233),(22yxyxyxf最值问题:),(maxDyxf),(minDyxf求函数f在有界闭区域D上的最大、最小值的一般步骤为：※※先求函数f在开区域D上的极大、极小值点;再求函数f在边界D上的极大、极小值点;※将所求出的极值(及边界上的特殊点的函数值)进行比较,即可得出函数的最大、最小值.※:D内在由方程组026xxf026yyf得到驻点,),(3131且.),(343131f区域:}1,0,0|),({Dyxyxyx目标函数:22233),(22yxyxyxf最值问题:),(maxDyxf),(minDyxf※:D上在xyOCB·P,10,0:OBxy上在,223),(2xxyxf故由一元函数求极值的方法,得驻点：,),(3100函数值：),(31f35区域:}1,0,0|),({Dyxyxyx目标函数:22233),(22yxyxyxf最值问题:),(maxDyxf),(minDyxf※:D上在xyOCB·P,10,0:OCyx上在,223),(2yyyxf故由一元函数求极值的方法,得驻点：,),(310函数值：),(31035f区域:}1,0,0|),({Dyxyxyx目标函数:22233),(22yxyxyxf最值问题:),(maxDyxf),(minDyxf※:D上在xyOCB·P,10,1:BCxyx上在,366),(2xxyxf故由一元函数求极值的方法,得驻点：,),(2121函数值：),(2121f23区域:}1,0,0|),({Dyxyxyx目标函数:22233),(22yxyxyxf最值问题:),(maxDyxf),(minDyxf综上所述※f),(31350f),(31035f),(212123f),(313134边界上端点值：,2)0,0(f,3)0,1(f,3)1,0(f区域:}1,0,0|),({Dyxyxyx目标函数:22233),(22yxyxyxf最值问题:),(maxDyxf),(minDyxf:),(maxDyxf3)1,0(f3)0,1(f:),(minDyxff),(313134所求最值点为：……区域:}1,0,0|),({Dyxyxyx目标函数:22233),(22yxyxyxf最值问题:),(maxDyxf),(minDyxf我们这道题，由于函数是可微的，其极值点必是驻点，所以只要求出D内及边界D上的驻点处的函数值，并与边界上线段端点的函数值进行比较，其中最大者就是函数在闭区域D上的最大值，最小者就是函数的最小值。一般情形也可仿此进行，只需求出极值可疑点的函数值，不必判断它是否为极值。例例5求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.zxyOP球面解选择坐标系,使球心位于坐标原点,则球面方程为2222azyx设所求长方体在第一卦限中的顶点为),,,(Pzyx则长方体的三个棱边长是,2,2,2zyx长方体体积为22288)2)(2)(2(yxaxyxyzzyxV区域：,222ayx,0x,0y目标函数：2228yxaxyV:D最值问题：VDmax2DmaxV原问题归结为下面的优化问题:区域：:D,222ayx,0x,0y目标函数：2228yxaxyV最值问题：2DmaxV)(64max22222Dyxayx由0022yVxV22222222ayxayx解之得,3ayx。3222ayxaz由0022yVxV22222222ayxayx解之得,3ayx。3222ayxaz应用题,仅有唯一的一个驻点,故该驻点即为极值点,从而所求球内接长方体的边长为.32222azyx区域：:D,222ayx,0x,0y目标函数：2228yxaxyV最值问题：2DmaxV)(64max22222Dyxayx在例题中,出现了一个相同的问题,这个问题已被我们轻松地解决了.什么问题?目标函数中的变量必须满足一定的条件作业4-5：1（3），3这就是对目标函数的约束应满足方程对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题.例如,上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题,就是一个有约束的极值问题:长方体顶点必须位于球面上,其坐标x2+y2+z2=a2.三.有约束极值（条件极值）二.有约束极值（条件极值）有约束极值(条件极值)的定义},0)(,,0)(,|{1nmXXRXXLmn设若,0LX,)(Uˆ0XLX有)()(0XfXf(或,))()(0XfXf则称)(0Xf为函数)(Xf在约束条件,,0)(1X)}(,0)(nmXm下的极大值(或极小值).这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值.这里的约束称为等式约束.有约束极值带等式约束的极值带其它约束的极值无约束极值转化有约束极值的形式目标函数：nRXXfu,)(表现形式：XXf)(max,0)(1X.t.s,,0)(Xmmin有约束极值无约束极值拉格朗日乘数法变量替代法变量替代法例现需用钢板制造容积为2m3的有盖的长方体水箱，问当长、宽、高各为多少时用料最省？解设长方体的长、宽、高分别为,x,y,z则问题归结为下列有约束极值问题：min,)(2xzyzxySt.s.2xyz)0,,(zyx由约束条件,2xyz得,2xyz代入目标函数中，使问题转化为下列无约束极值问题：222min0,yxxySyx令