湖南理工学院高等代数第六章线性空间测试题

高等代数第六章——线性空间测试题一、填空题（1）已知R3的两组基Ⅰ)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321；Ⅱ)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为。（2）在22P中，已知11111A，01112A，00113A，00014A是22P的基，那么，4321A在该基下的坐标为。（3）设1W是方程组04321xxxx解空间，2W是方程组0043214321xxxxxxxx那么1W∩2W是方程组的解空间。（4）设3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121LWLW21dimWW。（5）设1W、2W都是V的子空间，且1W+2W为直和，那么21dimWW。二、判断题：（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（）（2）实数域R上的全体n几级可逆矩阵做成nnP的子空间。（）（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（）（4）线性空间V中任意两个子空间的并集仍是V的子空间。（）（5）在子空间的和1W+2W中，如果),(0221121ww，且这种表示形式唯一，那么1W+2W为直和。（）三、在22P中，,1111aG,111,11132aGaGaG1114当a为何值时，4321,,,GGGG线性相关？当a为何值时，4321,,,GGGG线性无关？四、设PaaaxaxaaxPoo212213,,|][（1）证明1，1,12xx是3][xP的基，并求由该基到基1,,2xx的过渡矩阵。（2）求21)(xxxf在基1，1,12xx下的坐标。五、设)1,1,0(),0,1,1(),,(21211LW，2W是齐次方程0321xxx的解空间，求1W+2W，21WW的一组基和维数。六、设1,,,,|),(2iRdcbadicbiaV把V看成R上的线性空间，证明：),0(),1,0(),0,(),0,1(4321ii是V的一组基。七、设0,12AXWAA是的解空间，2W是0)(XEA的解空间，证明：nPWW21。八、设RbababaaW,|),,(证明：（1）W关于3R中的向量的加法和数乘运算做成R上的线性空间。（2）2RW。