矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n+1个n阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(I)方程的个数m与未知量的个数n不一定相等，当m=n时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I)，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？(3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。掌握用初等变换求解线性方程组。。本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定.。本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一.初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。定义若矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，则称与行等价，记；若矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，则称与列等价，记；若矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称与等价，记。等价关系满足：1．反身性：；2．对称性：；3．传递性：。对矩阵，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式，（称之为标准形）。例1把下列矩阵化为标准形式：(1)A=210253143212，(2)A=523012101解：(1)23121111011103212)1()2(210253143212A)1(21111011100002000011100001000000100001000000100001(2).A=5230121018202101018202100011200210001100010001二.利用初等变换求矩阵的逆作n×2n矩阵(AE)，对此矩阵作初等行变换，使左边子块A化为E，同时右边子块E就化成了A–1．简示为：(AE)──────→(EA–1)例2设A=112213324，求A–1．初等行变换解：对矩阵(AE)施以初等行变换(AE)=100010001112213324→100010011112213111→122043011110120111→122201111110100001→201121111100010001所以A–1=201121111下面介绍一种利用矩阵求逆解简单的矩阵方程的方法．作矩阵(AB)，对此矩阵作初等行变换，使左边子块A化为E，这时右边的子块就化成了A–1B．即(AB)───────→(EA–1B)例３求矩阵方程AX=B的解，其中A=010211110，B=132302解法一：∵|A|=010211110=1≠0∴A可逆．先求A–1，(AE)=100010001010211110→100001010010110211→100101110010100201→101100110100010201初等行变换→101100312100010001∴A–1=101100312所以X=A–1B=101100312132302＝111312解法二：(AB)=132302010211110→130223010110211→111312100010001→111312100010001得矩阵方程的解X=A–1B=111312同理，利用初等列变换，也可求解矩阵方程XA=B．即当A可逆时，作矩阵BA，用初等列变换把它化成1BAE，此时X=BA–1就是矩阵方程XA=B的解．例4用初等行变换解线性方程组：解（称是该线性方程组的增广矩阵）,（称为行阶梯形矩阵），（称为行最简形矩阵）对应的线性方程组为取，则即§3.2矩阵的秩定义在矩阵中，任取行列的元素，按原排列组成的阶行列式，称之为的阶子式。若矩阵中有一个阶子式，并且所有的阶子式全为零，则称为的最高阶非零子式，称为的秩，记。例在中，一个2阶子式，所有3阶子式均为零：，，，故。特别，当阶方阵的行列式，则；反之，当阶方阵的秩，则。因此阶方阵可逆的充分必要条件是（满秩）。例现在我们来讨论矩阵秩的计算，矩阵秩的计算可有两种方法．方法１利用定义３，求矩阵的不为零的子式的最高阶数，若矩阵中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式均为零或不存在，则r(A)=r．例３设064212100321A，求A的秩R(A)．解：A中有二阶子式1021=1≠０，但由于第一行与第三行的元素对应成比例，所以它的任何三阶子行列式均为零，∴R(A)=2．例４设00000000054543221ccbbbbaaaaaA５４３，其中a1≠0，b2≠0，c4≠0．解：因A中只有三个非零行，所以A的任意一个四阶子式都有一行为零，于是所有四阶子式均等于零．而三阶子式00004214221cbacbbaaa４４，∴R(A)=3．方法２利用矩阵的初等变换求矩阵的秩．上面例４中的矩阵A是阶梯形矩阵，从上述计算过程我们看到，由于A有三个非零行，因此算得R(A)=3．这个规律对任意一个阶梯形矩阵都成立．即阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数．这样，是否可以用行(列)初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵来求秩呢？定理1矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．证明：先证矩阵的行变换不改变其秩．设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，A的行向量为1，2，…，m(1)不妨考虑把A的第１行的k倍加到第２行上，得到矩阵mnmmnnnaaaakaakaakaaaaB21212212211111211，这里B的向量组为，1，2，…，m(２)其中),,,(21221221112nnakaakaaka=k1+2显然向量组(1)与向量组(2)等价，因而有相同的秩，即R(A)=R(B)．显然，其它的两种初等行变换也不改变矩阵的秩．同理可证初等列变换也不改变矩阵的秩．由定理1，一个矩阵经过初等行(列)变换得到的阶梯形矩阵与原矩阵有相同的秩．因此，为求矩阵A的秩，先将其化为阶梯形矩阵，则秩R(A)等于阶梯形矩阵非零行的行数．例５设A=121123322111，B=5341112332122131，求R(A)，R(B)．解：A=121123322111→112021502111→112021500001→103021500001→103001000001→103001000001→100001000001所以R(A)=3．B=5341112332122131→7470747074702131→0000000074702131所以R(B)=2．§3.3线性方程组的解这一节我们利用矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况．设线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A和A，即A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211，A=mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211．定理1线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即R(A)=R(A)此定理与消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：000000000000000001222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdcccc或者000000000000000000222221111211rrnrrnrnrdccdcccdcccc其中cii≠0，i=1，2，…，r，dr+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当dr+1≠0时R(A)≠R(A)，方程无解；当dr+1=0时，R(A)＝R(A)，方程组有解．例1判断方程组有解还是无解．72512420563432143214321xxxxxxxxxxxx解：5000011216700563172