数字信号处理习题及答案

三、计算题1、已知10),()(anuanxn,求)(nx的Z变换及收敛域。（10分）解：0)()(nnnnnnzaznuazX10111)(azzann||||az2、设)()(nuanxn)1()()(1nuabnubnhnn求)()()(nhnxny。（10分）解：azznxzX)()(，||||azbzazbzabzznhzH)()(，||||bzbzzzHzXzY)()()(，||||bz其z反变换为)()()()()(1nubzYnhnxnyn3、写出图中流图的系统函数。(10分)解：21)(czbzazH21124132)(zzzzH４、利用共轭对称性，可以用一次DFT运算来计算两个实数序列的DFT，因而可以减少计算量。设都是N点实数序列，试用一次DFT来计算它们各自的DFT：)()(11kXnxDFT)()(22kXnxDFT（10分）。解:先利用这两个序列构成一个复序列，即)()()(21njxnxnw即)()()()(21njxnxDFTkWnwDFTnxjDFTnxDFT21)()()(21kjXkX又)(Re)(1nwnx得)(})({Re)(1kWnwDFTkXep)())(()(21*kRkNWkWNN同样)(1})({Im)(2kWjnwDFTkXop)())(()(21*kRkNWkWjNN所以用DFT求出)(kW后，再按以上公式即可求得)(1kX与)(2kX。5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5nRnhn求出系统函数，并画出其直接型结构。（10分）解：ｘ（ｎ）1z1z1z1z１9.029.039.049.0ｙ（ｎ）６、略。７、设模拟滤波器的系统函数为3111342)(2sssssHa试利用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。（10分）解TTezTezTzH31111)(TTTTTezeezeeTz423131)(1)(设T=1，则有2111831.04177.013181.0)(zzzzH4)3(2)(2jjHa21831.04177.013181.0)(jjjjeeeeH三、（12分）序列)(nx为()()2(1)(3)xnnnn1、画出序列)(nx的图形；2、计算线性卷积)()(nxnx；3、计算5点圆周卷积)(nx○5)(nx。4、为了使N点的)(nx与)(nx圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N值为多少？解：1、序列)(nx的图形如下：（2分）2、)6()4(4)3(2)2(4)1(4)()()(nnnnnnnxnx={1，4，4，2，4，0，1}（4分）)(nx3210n1123、)(nx○5)(nx)4(4)3(2)2(4)1(5)(nnnnn={1，5，4，2，4}（4分）4、为了使N点的)(nx与)(nx圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N值为4+4-1=7（2分）四、（16分）已知一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述：)1(21)()2(81)1(43)(nxnxnynyny求该系统的系统函数H(z)，画出其极、零点图，并指出其收敛域。2、画出其直接Ⅰ型和Ⅱ型的实现结构。3、求该系统的单位脉冲响应()hn，并判断该系统是FIR系统还是IIR系统？解:1、112112()31148zHzzz(3分)极点:14z,12z零点:0z,12z(2分)收敛域12z(因系统是因果系统)(1分)2、直接Ⅰ型实现结构(2.5分)直接Ⅱ型实现结构(2.5分)3、112112()31148zHzzz=1143111124zz,12z系统的单位脉冲响应为:11()[4()3()]()24nnhnun(3分)该系统是IIR系统.(2分)五、（15分）已知系统的单位取样响应nnnh其它,070,1)(1、求该系统的频率响应即振幅、相位。并指出该系统属于哪一种类型的线性相位FIR滤波器？2、求该系统的系统函数H(z)，画出H(z)的极点和零点，指出其收敛域。3、试判断该系统是否是稳定系统？4、画出其横截型实现结构。解1、系统的频率响应为27870)2/sin()4sin(11)(jjjnnjjeeeeeH)2/sin()4sin()(jeHk27)(，k为整数。（3分）因系统单位脉冲响应的长度为8，且具有偶对称特性，因此该系统属于第二种类型的线性相位FIR滤波器。（2分）2、系统函数H(z)为187170111)(zzzzzzHnn（2分）H(z)的极点为0z（7阶），零点为kjez82，7,,2,1k（2分）H(z)的收敛域为0z（1分）3、系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，所以系统是稳定的（2分）4、该系统的横截型（即直接型或卷积型）结构如下图所示（3分）六、（10分）设)3)(1(2)(sssHa，试用双线性变换法和脉冲响应不变法，将以上模拟系统函数转变为数字系统函数)(zH，采样周期2T。解：双线性变换法：（5分）)2(221)311)(111(2)()(121111111211zzzzzzzsHzHzzTsa脉冲响应不变法：（5分）3111)3)(1(2)(sssssHa241313131)(1)(11)(zezeezeeTzeTzeTzHTTTTTTT当采样周期2T28162162)(1)(2)(zezeezeezH)(nx3210n112七、(12分)有一连续信号)2cos()(fttxa，式中Hzf50，1、求出)(txa的周期；2、用采样间隔sT002.0对)(txa进行采样，写出采样信号)(ˆtxa的表达式；3、写出对应)(ˆtxa的时域离散信号（序列）)(nx，并求出)(nx的周期。4、若频谱分析时计算了100个采样的DFT，试求频谱采样之间的频率间隔F。解：1、)(txa的周期是02.01fTas(2分)2、nanTtfnttx)()2cos()(ˆ=nnTtnT)()100cos((3分)3、因sT002.0,则)2.0cos()(nnx(2分))(nx的数字频率为2.0，102周期10N(3分)4、频谱采样之间的频率间隔HzNTNfFs5002.010011(2分)八、（10分）1、图1所示为时间抽取法蝶形运算流图，试写出1()Yk和2()Yk与1()Xk和2()Xk的关系。2、若MN2，请给出时间抽取法FFT总的复数乘法次数和复数加法次数。3、MN2时，DIT-FFT共需多少级分解？每级运算要计算的蝶形运算有多少个？图1时间抽取法蝶形运算流图符号解：1、)()()(211kXWkXkYkN（2分）)()()(212kXWkXkYkN（2分）2()Yk1()Yk1()Xk2()XkkNW12、总的复数乘法次数NNMF2log21（1.5分）总的复数加法次数NNAF2log（1.5分）3、DIT-FFT共需M级分解，每级运算要计算的蝶形运算有2N个.（3分）四、简答题（每题5分，共20分）1．用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。3．简述用双线性法设计IIR数字低通滤波器设计的步骤。4．8点序列的按时间抽取的（DIT）基-2FFT如何表示？五、计算题（共40分）1．已知2(),2(1)(2)zXzzzz，求x(n)。（6分）2．写出差分方程表示系统的直接型和级联．．型结构。（8分）)1(31)()2(81)1(43)(nxnxnynyny3．计算下面序列的N点DFT。（1）)0()()(Nmmnnx（4分）（2）)0()(2NmenxmnNj（4分）4．设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3}，另一序列h(n)={1，2，1，2；n=0,1,2,3}，（1）求两序列的线性卷积yL(n)；（4分）（2）求两序列的6点循环卷积yC(n)。（4分）（3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分）5．设系统由下面差分方程描述：)1()2()1()(nxnynyny（1）求系统函数H（z）；（2分）（2）限定系统稳定．．，写出H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分）四、简答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）答案：1.答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应2.答：第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。3.答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。4．答：五、计算题（本题共5个小题，共40分）本题主要考查学生的分析计算能力。评分标准：1.所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给0分。2.部分步骤正确、答案错误或步骤不清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点给分。3.采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。答案：1．解：由题部分分式展开()(1)(2)12FzzABzzzzz求系数得A=1/3，B=2/3所以232131)(zzzzzF（3分）收敛域z2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数，则12()(1)()(2)()33kkfkkk（3分）2．解：(8分)3．解：（1）knNWkX)(（4分）（2）mkmkNkX,0,)(（4分）4．解：（1）yL(n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6}（4分）（2）yC(n)={3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5}（4分）（3）c≥L1+L2-1（2分）5．解：（1）1)(2zzzzH（2分）（2）511522z（2分）；)1()251(51)()251(51)(nununhnn（4分）简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。2．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(minZH有何特点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式NkkkMrrrZaZbZQZPZH101)()()(，他的所有极点都应在单位圆内，即1k。但零点可以位于Z平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统)(1)(ZHZG也是稳定因果的。这就需要)(ZH的零点也位于单位圆内，即1r。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零