解三角形经典例题

解三角形一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1．正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）变式：12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.3．余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5．常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）111=sinsinsin2224abcSabCacBbcARABCR为外接圆半径（两边夹一角）；6．三角形中常用结论（1）,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC中，ABC，所以①sinsinABC；②coscosABC；③tantanABC；④sincos,22ABC⑤cossin22ABC7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如：①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）45.（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）7)三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点典型例题典型例题题型1正余弦定理的简单应用[例1]在ABC中，若7:5:3sin:sin:sinCBA，则角C的度数为2若a、b、c是ABC的三边，222222)()(cxacbxbxf，则函数)(xf的图象与x轴()A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点D、至少有一个交点3．在ABCV中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C．3D．324．在ABCV中，2223abcbc，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°5．在锐角中ABC,角,AB所对的边长分别为,ab.若2sin3,aBbA则角等于()A．12B．6C．4D．36．在ABC,内角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb且ab,则B()A．6B．3C．23D．56题型2三角形解的个数[例2]1，在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A、7a，14b，30A；B、25b，30c，150C；C、4b，5c，30B；D、6a，3b，60B。2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无B．两解C．一解D．解的个数不确定题型3面积问题[例3]1ABC的一个内角为0201，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为2．在ABC中，3AB,1AC,30A，则ABC面积为()A．32B．34C．32或3D．34或323．已知ABC的三边长3,5,6abc，则ABC的面积为()A．14B．214C．15D．215题型4判断三角形形状[例4]在ABC中，已知2222()sin()()sin()abABabAB,判断该三角形的形状。3．设ABCV的内角,,ABC所对的边分别为,,abc,若coscossinbCcBaA,则ABCV的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定4．若△ABC的三个内角满足7:5:3sin:sin:sinCBA，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．在ABC中，若cosAcosB＝ba，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形三、高考真题赏析1．(2018新课标III文理4)若1sin3，则cos2（）A．89B．79C．79D．892.(2018新课标II文15)已知5π1tan()45α，则tanα__________．3.(2018新课标II理15)已知sincos1,cossin0，则sin__________．4.(2017新课标I文15)已知0,2,tanα=2，则cos4__________5.(2017新课标III文4)已知4sincos3，则sin2=（）A．79B．29C．29D．796.(2016新课标III文6)若tan13，则cos2（）（A）45（B）15（C）15（D）457.(2016新课标II理9)若3cos()45，则sin2（）（A）725（B）15（C）15（D）7258.(2016新课标I文14)已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)=.9.(2016新课标III理5)若3tan4，则2cos2sin2（）(A)6425(B)4825(C)1(D)162510.(2016新课标I理2)oooosin20cos10cos160sin10=()（A）32（B）32（C）12（D）1211．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.12．（2016年全国I）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc（I）求C；（II）若7,cABC△的面积为332，求ABC△的周长．12．(2015高考新课标2)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．(Ⅰ)求sinsinBC；(Ⅱ)若1AD，22DC，求BD和AC的长．解三角形单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝1，则最小角为()A.π12B.π6C.π4D.π32．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π33.在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC→|＝1，S△ABC＝3，则AB→·AC→等于()A．－2B．2C．±4D．±24．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.25．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是()A．1x5B.5x13C．1x25D．23x257．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()A．－223B.223C．－63D.638．下列判断中正确的是()A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解9．在△ABC中，B＝30°，AB＝3，AC＝1，则△ABC的面积是()A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，若△ABC的面积为32，则tanC为()A.3B．1C.33D.3211．在△ABC中，如果sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＋cosAcosB＝2，则△ABC是()A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是()A．60°B．45°或135°C．120°D．30°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B＝________.14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝233，求边c的值．18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋12c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.20．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知.coscoscos2CbBcAa(1）求Acos的值；(2）若23coscos,1CBa，求边c的值.21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b.(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．22．如图，在ABC中，点D在BC边上，33AD，5sin13BAD，3cos5ADC．(1）求sinABD的值；(2）求BD的长．