5、假设检验

第九章假设检验STAT9.1.1对研究性假设的检验（右侧检验）如我们前面的案例就可以看成是一个研究性假设的例子。研究性假设是：改进后的车型更节油，即平均油耗低于8.48升。通常，研究性假设作为备择假设。则上例中我们可建立如下的零假设()和备择假设()：9.1零假设和备择假设H0H48.8:H48.8:H0STAT例：某饮料生产商声称他们生产的两升罐装饮料平均至少有67.6盎司中的饮料。为了检验该生产商的陈述，我们将抽取一个两升灌装饮料的样本，然后对其中所装应料的重量进行测量。该问题即属于对陈述正确性的检验，一般的，我们都先假定生产商的陈述属正确的。则上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：9.1.2对陈述正确性的检验（左侧检验）0:67.6:67.6HHSTAT9.1.3对决策情况下的检验（对策检验）不管接受零假设还是接受备择假设，都须作出决策。例：根据从刚刚收到的货物中所抽取的零件的样本，质量控制检验员就必须做出决策：是接受这批货物还是因为其不符合规格而向供应商退回这批货物。假定零件的平均长度是2英寸。则上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：0:2:2HHH0统计术语:原假设是关于总体参数的表述.(是接受检验的假设)备择假设是当原假设被否定时另一种可成立的假设.原假设与备择假设是相互独立的,在任何情况下,只能有一个成立。如果接受拒绝拒绝接受例:检验一批新进口薄钢板是否符合平均厚度5毫米.那么假设这批货(总体)的平均厚度()为5毫米,需检验。[即:是总体平均数的特定值.(5mm)]也就是:被证实的原假设可记为(总体平均厚度为5mm)备择假设(平均厚度=5mm)H0H0HH0mmH5:0mmH5:HSTAT建立零假设和备择假设总结：设表示在零假设和备择假设中考虑的某一特定数值。一般来说，对总体均值的假设检验采取下面的三种形式之一：0000::HH左侧检验000::HH右侧检验000::HH双侧检验对总体平均数的假设就有了3种情况:双边(1)检验总体平均厚度等于5mm总体平均厚度不等于5mm单边(2)(左侧检验)检验(3)(右侧检验)(一).什么是双侧检验？1.只关心样本平均数与总体平均数,或样本成数与总体成数有没有显著性的差异,不问其差异的方向是正差或负差时,采用双侧检验。2.例:检验某零件生产是否正常,只关心零件口径尺寸是否符合标准长度,不向其口径长度超出公差范围是正差或负差,都拒绝原假设成立。3.又例:灯泡厂生产灯泡,灯丝的平均寿命过长或过短都不好。故当样本平均寿命高于或低于总体平均寿命过多都拒绝原假设。4.双侧检验的原假设采用等号形式,备择假设采用不等号形式.0100:;:HH0100:;:HH0100:;:HHxxHxxH0100:;:5.在双侧检验时,将给定的显著性水平按对称分布原理平均分配到左右两方,每方各为,查正态分布表或t分布表,可得下临界值和上临界值如计算出来的统计量t小于(或等于)下临界值(或上临界值)。都拒绝原假设。二.什么是单侧检验？如果只关心的问题不仅要检验样本平均数(或成数)与总体平均数(或成数)之间有没有显著性差异,而且要追究是否发生预先指定方向的差异,不论其正差异(负差异),都采用单侧检验。1.左侧检验:只关心总体平均数(成数)是否低于预先的假设例:电气公司采购人员采购大批电子元件,要求元件平均寿命达到1000小时,否则不接受。即:(原假设是:元件的平均寿命小时);(备择假设:元件的平均寿命小时)PpHPpH010;:2t2t2):;:(:;:01000100ppHppHxxHxxH10001000左侧检验相应有左侧临界值,由于这时临界值区域是单侧的要求,考虑到正态分布概率表和t分布概率表是双侧的,如果单侧的概率要求为,则双侧的概率应为,并按F(t)=1-2的要求查概率表求下临界值-t,如果计算的统计量t小于或等于临界值-t则拒绝原假设;如果,则接受原假设。2.右侧检验:只关心总体平均数(成数)是否高于预先假设。例:某经济特区对某项地方法规进行民意测验,执法机关认为只有60%的人赞成,而立法机关则认为有60%以上的人赞成。即:(原假设:赞成该项法规的比例60%)(备择假设:赞成该法规的比例60%)右侧检验也相应有右侧临界值,由于右侧检验的临界值拒绝区域也是单侧的要求,如果单侧的概率要求为,则双侧的概率应为,并按F(t)=1-2的要求查概率表求得上临界值,如果计算的统计量,则拒绝原假设;反之,则接受原假设。t2)(tttt)::(:;:0100010ppHppHxxHxxHt2tttttSTAT第一类错误：拒绝正确的原假设，简称“拒真”；第二类错误：接受错误的原假设，简称“纳伪”如下所示：我们把两类错误发生的概率表示如下：α——第一类错误发生的概率；β——第二类错误发生的概率；9.2第一类和第二类错误总体情况结论H0正确H0错误接受H0正确结论第二类错误拒绝H0第一类错误正确结论STAT在实践中，我们通常确定允许犯第一类错误的概率的最大值，将其称为显著性水平。可以选择α=0.05或α=0.01。STAT总结在大样本情况下，无论总体标准差已知或未知，样本均值总是服从正态分布，则可归纳左侧检验的一般步骤：1、建立零假设和备择假设2、确定检验统计量，并计算其值3、根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值4、拒绝规则：000::HH,xxxxsznn或9.3.1单个总体均值的单侧假设检验0,Hzz拒绝。STAT同理，在大样本情况下，右侧检验的一般步骤：1、建立零假设和备择假设2、确定检验统计量，并计算其值3、根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值4、拒绝规则：000::HH0,Hzz拒绝。,xxxxsznn或STAT例：某市的一家公司生产一种新型的轮胎，这种新型轮胎的设计规格是平均行驶里程至少为28000英里。随机抽取了30只轮胎作为一个样本进行检验，结果，样本均值时27500英里，样本标准差是1000英里。采用0.05的显著性水平，检验是否有足够的证据拒绝轮胎的平均行驶里程至少为28000英里的陈述。解：已知1、建立零假设和备择假设028000,30,27500,1000,0.05,1.645nxsz0:28000:28000HHSTAT2、确定检验统计量，并计算其值3、4、27500280002.74/1000/30xxxzsn0.05,1.645z02.741.645,Hzz拒绝。即不能接受该公司关于轮胎的陈述。STAT例：根据美国高尔夫球协会的准则，只有射程和滚动距离平均不超过280码的高尔夫球可在比赛中使用。假定某公司最近开发了一种高技术生产方法，用这种方法生产的高尔夫球的射程和滚动距离平均为280码。现在抽取一个有36个高尔夫球的随机样本来检验该公司的陈述是否为真。数据如下表。（假定在显著性水平为0.05的条件下进行）。9.4大样本情况下总体均值的双侧检验269301296275282276284272263300295265282263286260285264268288271260270293299293273278278279266269274277281291STAT该问题就是一个双侧检验的例子。先建立如下的零假设和备择假设：在大样本的情况下，仍然选择统计量Z,和单侧检验不同的是，此时的拒绝域分布在正态曲线的两侧，对应的概率均为。查表时应该查对应的临界值0:280:280HH/xxxzsn22/2zSTAT上例中，依据表中资料可计算得，则统计量的值为根据给定的显著性水平278.5,12xs278.52800.75/12/36xxxzsn/20.05,1.96z可查表得/2/2,zzz落入接受域，不能拒绝零假设。STAT归纳：在大样本情况下，双侧检验的一般步骤：1、建立零假设和备择假设2、确定检验统计量，并计算其值3、根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值4、拒绝规则：000::HH/2/20,Hzzzz或拒绝。,xxxxsznn或STAT在大样本的情况下，给定置信水平的总体均值的置信区间为：进行假设检验时，首先需要对总体的参数作出假定：双侧检验1已知时nZx2未知时2sxZn9.4.3区间估计和假设检验的关系000::HH00/2/2根据拒绝规则，可知不能拒绝H的区域包括位于的-z和z个标准差之间的所有样本均值。（1）STAT因此，双侧假设检验的样本均值的非拒绝区域可以由下式给出：双侧假设检验的非拒绝域和置信区间之间的关系：已知时02Zn未知时02sZn200如果x在式（）中所定义的非拒绝区域之内，假定的值就在式（1）所定义的置信区间之内。反过来说，如果假定值就在式（1）所定义的置信区间之内，样本均值就在（2）所定义的假设检验的非拒绝区域之内。（2）STAT由此得到由置信区间方法到假设检验的运算过程：假设的形式：（1）从总体中抽取一个简单随即样本构建总体均值的置信区间：（2）如果置信区间包含假定的值，则不拒绝零假设。否则，拒绝000::HH已知时nZx2未知时2sxZn00H0HSTAT例：仍然采用前述关于高尔夫球的双侧检验的例子：根据样本数据我们已经计算得到：对于给定的置信水平可以得到总体均值的95%的置信区间为：0:280:280HH278.5,12xs2195%,1.96Z2sxZn12278.51.9636即274.58~282.42总体均值的假设值在这个区间，所以我们不能拒绝零假设。0280STAT0用p表示总体比例，p表示总体比例的某一特定假设值，总体比例的假设检验有如下形式：000::HpHp左侧检验000::HpHp右侧检验000::HpHp双侧检验9.6总体比例的检验STAT我们只考虑的情况下，样本比例服从正态分布下的总体比例的假设检验。由于比例是特殊的均值，因此对比例进行检验的步骤及判断准则与对均值的检验相同，只需要检验统计量中的均值换成比例对应的指标就可。例：在过去的几个月中，在松树溪打高尔夫球的人中有20%是女性。为了提高女性高尔夫球收的比例，球场采取了一项特殊的激励措施来吸引女性。一周以后，随机抽取了400名球手作为一个样本，结果有300名男性和100名女性。课程经理想知道这些数据是否支持他们的结论：松树溪的女性高尔夫球手的比例有所增加。30,5,(1)5nnpnpSTAT解：已知1、建立零假设和备择假设2、确定检验统计量，并计算其值3、4、00000.250.202.5(1)/0.20*0.80/400pppppzppn0.05,1.645z若给定则有02.51.645,Hzz拒绝。即可以认为女性球手的比例有所增加。。01000.20,400,0.25400pnp0:0.20:0.20HpHp例2：某药厂生产某种液剂，其浓度按正态分布。规定标准浓度为60%。现在每小时抽取100cc，一班8小时共抽取800cc进行测验，测得平均浓度为56%，问液剂配方是否正常？（=0.05）解：这是总体成数的双侧检验问题不正常。显著性差异，药物配方，认为生产存在拒绝原假设HtnPpPpuPptpHpHpz01096.131.2)4(31.28004.06.06.056.0)1()3(96.