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数论整数的奇偶性与整除性数论数论是研究整数规律和性质的数学分支，一般可分为初等数论、解析数论和代数数论。初等数论基础知识较为简单，但处理问题方法技巧性很强，在培养人们思维能力方面起着重要作用，因而在国内外数学竞赛中占有重要地位。本章主要内容整数的奇偶性整数的整除性同余不定方程高斯方程整数的奇偶性整数可以分为两大类，一类是奇数，共同的特征是被2除余数是1，通常用2n+1（n是整数）来表示；一类是偶数，共同的特征是2的倍数，通常用2n（n是整数）来表示。所谓的整数奇偶性就是利用整数的奇数、偶数的特征和性质解决问题和分析问题。奇数和偶数的性质奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数。两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）。若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个。奇数和偶数的性质若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个是偶数。奇数奇数奇数；奇数偶数偶数；偶数偶数偶数。奇数和偶数的性质aaaababab若是整数，则与有相同的奇偶性。若、是整数，则与奇偶性相同。奇数和偶数的性质奇数的平方都可表示为8m+1形式偶数的平方都可表示为8m或8m+4的形式。例题例1：在1，2，3，……，1998，1999这1999个数的前面任意添加一个正号或负号，问它们的代数和是奇数还是偶数。1,2,3,,1998,1999199912319981999123199819991,2,3,,1998,19991999abab由于与的奇偶性相同，所以无论在这个数的前面任意添加一个正号或负号，它都与的奇偶性相同。因为是偶数，所以在这个数的前面任意添加一个正号或负号，它们的代数和一定是偶数。例题121221,2,,12nnnaaanaaan例：设为奇数，,,,是的任意一个排列，证明必是偶数。12121212121,2,12,,,1,2,,121200nnnnnaaannaaanaaanaaanaaan（反证法）假设这个乘积是奇数，则必为奇数，且是奇数，于是奇数，但，由于是的一个排列，故。因为是偶数，不是奇数，1212naaan矛盾。所以乘积必是偶数。例题123,,04|nnaaann例：个整数，其积等于，其和等于，试证。111,1,2,,,04|4|niiniiiniinnanainaann先证为偶数。（反证法）假设为奇数，则由得是奇数且为奇数个奇数和，所以仍为奇数，这与矛盾，故为偶数。再证。（仍用反证法）假设12122112,,,,,,,104|nnniinniiiinaaaaaanaaaan此时中只有一个偶数，不妨设是偶数都是奇数。此时有个奇数，这样为奇数个奇数之和，所以仍为奇数。因此，偶数奇数奇数，与题设矛盾，因此由上证明知。例题12311223114114|.nnnnnnxxxxxxxxxxxxxn例：有个数,,,,,它们中的每一个数要么是，要么是。若++,+=0，求证12311223111223111111214|nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxnnkxxxxxxxxkn由于,,,,,它们中的每一个数要么是，要么是，所以相邻两个数之积要么等于，要么等于。再由于++,+=0，可得是偶数。即。再根据可得为偶数。即。例题25,,ABCDnnACBD例：将正方形分割成个相等的小方格（是正整数），把相对的顶点染成红色，染成蓝色，其它交点任意染成红蓝两色中的一种颜色。证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的数目必是偶数。赋值法有些数学竞赛问题，若能根据问题的具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如+1或-1，0或1等），往往能使问题数值化、直观化、简单化。这就是赋值法。利用赋值法，其解题思路是将较复杂的问题给予适当赋值，转化为较为简单的命题，运用数学运算，求得问题的解决。22221212011,2,,13,11024iinnnniAiAAAAAAA用数代表颜色点，将红色点记为，蓝色点记为，再将个小方格编号为。设第个小方格四个顶点数字和记为，恰有三个顶点同色的第个小方格，则或即为奇数，否则为偶数。在中，有如下事实：正方形内部的点各加了四次，正方形边上的点各加两次，四个顶点各加次，其中两个，两个，其和为。因此内部22121222nnAAAAAA点相应数之和四边上点相应数之和即必为偶数。故中奇数的个数为偶数，从而证明了恰有三个顶点有相同颜色的小方格的个数为偶数个。例题12100100161,2,,200,,,,1100,201,2100804ijiiEGaaaEGijaaaGG例：设。且具有下列性质：1对任何试证：中的奇数的个数是的倍数，且中所有数的平方和一定是定数。121211100,21,2012101,,,1100,1,2ktttiiiiiiiiiikiijjtkitiiiEGEGkaaaiiiatkaji对记，令，则中包含且只包含中的一个元素。设中有个奇数于是令由题得1001001110080210110100tjjiiiii①另一方面②111111220,201220,2012022201104ttttttttkkkiiiiitttkitkitkitkkkkmmkmk②-①得③故必为偶数，令，则③可化为因为是偶数，故右端为偶数，从而是偶数，所以是的倍数。2221110022211110022211100211100211100212101420142012014100100120016ttttttttttttnkiijitjikkiiititkiiiitkiiiiitkiiitiGaiii中各数的平方和为：201201349380G即中各数平方和为一定数。例题72,5,132,5,13,,1ddabab例：设正整数不等于，证明集合中可以找到两个数，使得不是完全平方数。2222513,21315,51318,21,51,131ddd由于因此，只须证明中至少有一个不是完全平方数。22222,,,,,2151xyzxyzNdxdy（反证法）假设它们都是完全平方数，设为。即①②22222131,2121214412442221dzxxkdkkkdkkdkkd③由①知，是奇数令，于是即所以是奇数。222,222,,,,4,21,51,131yzymzndnmnmnmdnmnmnmnmnmddddd再由②③知，、均为偶数。令，代入②③且相减得：由于是偶数故是奇偶性相同的两个数，从而均为偶数则是的倍数。即是偶数与为奇数矛盾。因此，中至少有一个不是完全平方数。例题81,1,2,2,3,3,1986,19861122,,19861986例：能否把这些数排成一行，使得两个之间夹着个数，两个之间夹着个数两个之间夹着个数。证法11,2,,3972,,1,2,1986,,,1,1iiiiiiiiiiiiiiiiabbaabibaibababai（反证法）假设能够排成。我们从左到右给每一个数编上一个号码，即首先我们用表示中任一个数显然在排列中占据两个位置，设一个为一个为且。依题意知与之间夹有个数，于是有由整数奇偶性知，与的奇偶性相同所以与的奇偶性相同i。下面对进行奇偶性分析：,1,,13972,993,993,9931,,13972iiiiiiiiiibabaiiiiibabaiii当为偶数时为奇数即奇数。故与的奇偶性相反，即当是偶数时，对每一对来说，一个占据奇数位，一个占据偶数位。因此，从到中有对偶数它们占据了个奇数位个偶数位。当为奇数时，为偶数即偶数，故与的奇偶性相同，即当是奇数时，对每一对来说，要么都占据奇数位，要么都占据偶数位。因此，从到中，奇数占,2139721986,993,2198699329932ssss据排列中奇数位的个数是偶数个不妨设为个。从上所述，从到个位置中，共有个奇数位其中被偶数占据个被奇数占据个。即，由此可以看出，等式左端是奇数，右端是偶数，显然矛盾。因此，符合要求的排列是不存在的。证法21986198611198619861986198611111986119861111211986397329931987198619863973219869931987iiiiiiiiiiiiiiiiibaiibaibaaiaa同证法所证得到对取和，即有显然，等式左端是偶数，右端是奇数，矛盾。因此，符合要求的排列是不存在的。整数的整除性0||abbcabcbaabbabab设、是整数，且，如果存在整数使得，则称整除，或称被整除，记作。否则，则称不整除，记作a。整除的性质1)|;2)|,|,|;3)|,|,,|abcaaabbcacabacmnabmcn设，，是整数。若则若则对任意整数有整除的性质11mnijijabcc若在等式中，除某一项外，其余各项都能被整除，则这一项也能被整除。整除的性质1),1,|,|;2),1,|,|,|;3),|,||.ababcacabacbcabcppabpapb若且则若且则设是素数若则或例题3333339,,10abcababbcbccaca例：设、、是三个互不相等的正整数，求证三个数中至少有一个能被整除。3322332233223333331025,25,,,,,2abababababababbcbcbcbcbcbcbccacacacacacacaababbcbccaca因为因此只须证明三个数中至少有一个同时能被、整除。显然，都是偶数，都能被