2.5.1等比数列的前n项和(第一课时)

问题提出小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍，試计算30天后两人各得的钱数.设小林30天得到的钱数T30)465(万元23030)(130321T30（分）22221S293230设小明30天得到的钱数S30引入新课302S即23293022222.(2)30S)1(.222212932同学们考虑如何求出这个和？302S).22221(22932303021S≈1073.741万元分1073741823123030S错位相减法!301230302SS⑴×q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa⑵⑴－⑵，得,111nnqaaSq由此得q≠1时，qqaSnn111等比数列的前n项和nnaaaaS321设等比数列,,,,,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS⑴即说明：这种求和方法称为错位相减法当q≠1时，qqaSnn111,111qaqqaqannn∵∴qqaaSnn11显然，当q=1时，1naSn探究1：①式两边为什么要同乘以q？提示：根据等比数列的定义，①式两边同乘以q，可以使所得到的式子与①式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项，得到有限项，从而求出数列的前n项和.探究2：①式减②式的目的是什么？提示：①式减②式的目的是消去两式中若干项，从而得出有限项.证法二：=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an)qqaasnn11nnaaaaS321nS,1na(q=1).(q≠1).等比数列的前n项和表述为：111,11nnaqaaqqqnn{}q1=c+kqnaS等比，且，，则________.c=-kqqaqaSnn111112nnS例如：【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点(1)q≠1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法.(2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若知道其中3个可求另2个.(3)求等比数列{an}的前n项和时，要注意公比是否为1，要分情况选取合适的公式求解.等比数列的前n项和例题解:例5（1）求等比数列的前10项的和.,81,41,211，10,21,11nqa21121111010S.5121023qqaSnn1)1(1891272431,2431,27qaa＝可得解：由31,0qq可得又由81164031131127888Sn时，于是当1912270,.243aaq8（）＝，＝，求S21212121410410SS例2.等比数列,4,2,1,求从第5项到第10项的和.S解：21212116465qqaS或2.(2013·大纲版全国卷)已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=则{an}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)43，19解：选C.因为3an+1+an=0，则又a2=所以a1=4，所以数列{an}是首项为a1=4，公比q=的等比数列.故S10=n1na1a3，43，131010141()3313.113解：当q=1时，S3=3a3，符合题意；当q≠1时，由S3=3a3，得=3a1q2，因为a1≠0，所以1-q3=3q2(1-q)，所以(q-1)2(2q+1)=0，所以q=综上，q=1或q=31a(1q)1q－－1.2－1.2－3.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，求此数列的公比q.33213333aaaaaS解：2112)1(qaqa3212aaa21210qqa0122qq211qq或（法一)：（法二)：【规律总结】等比数列前n项和运算的注意事项(1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)对于等比数列有关基本量的计算，列方程组求解是常用方法，通常用约分或相除的方法进行消元.(3)在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个基本量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常常利用列方程组的方法来解决.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6解析：3S3－3S2＝3a3＝a4－a3⇒a4＝4a3⇒q＝4.答案：B数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析：∵a4＝12q3＝－4，∴q＝－2，∴an＝12×(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝2n－1－12.填表数列等差数列等比数列前n项和公式推导方法21nnaanSdnnna211qqann111Sqqaan111q【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑.倒序相加错位相减公比是否为1(q=1).,1na数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．公式的使用情形(1)当q＝1时，等比数列的前n项和不能用以上几种方法推导，因为此时等比数列是常数列，所以Sn＝na1.(2)当q≠1时，等比数列前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时用a11－qn1－q较方便；当已知a1，an与q时用a1－anq1－q较好．(3)公式Sn＝a11－qn1－q还可写成Sn＝a1qn－1q－1.前者更适用于当q1时，而当q1时用后者更简便．231nnaaaaa练习1.求和：S=1+11nnSa时，解：aaaaaSannn111111时，1,1111nn1aaaaSn，综上，2.(2014·石家庄高二检测)已知等比数列的前4项的和为1，且公比q=2，则数列的前8项的和等于()A.17B.16C.15D.14143214aaaaS解：876543218aaaaaaaaS又)(4321443218aaaaqaaaaS17)1(44444SqSqS3.已知数列前n项和sn=2n-1，则此数列的奇数项的前n项的和是.2.设等比{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若S3＋S6＝2S9，求数列{an}的公比q.