竞赛数学(张同君陈传理)数论4(高斯函数)

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数论高斯函数高斯函数,,.,.,,0.,,.xRxxyxyxRZxxxxxxxxxx定义:设表示不超过的最大整数则称为高斯函数函数的定义域为值域为由定义知故称为整数部分称为的小数部分记作高斯函数的性质12310!,mmmnpnnnnpnppppp性质:在的素因数分解中素数的指数是指例题130!.例:分解为素因数乘积30!2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,303030301573126,24816303030103114,3927含有素因数它们在分解式中的指数分别是261474223030617,5253030304,2,2,71113303030301.1719232930!235711131719故2329.例题21995!0.例:求中末尾的个数2510,25,0,,0.25,1995!25,1995!51995!0.1995199519951995525125625所以一个因子和一个因子乘起来末尾就出现一个而且只有这时末尾才会出现一个因为故在中的因子的个数多余的因子个数所以中的因子的个数就是中末尾的个数39979153496.1995!4960.故在末尾含有个例题111131.1!2!3!1995!例:求11112.1!2!1995!11111!2!!1111,1!2!1995!11113.1!2!1995!11112.1!2!1995!en显然有我们知道故可知231994199511113.1!2!1995!11111!2!1995!111111122221121213.112,,n下面用初等数学方法证明由此可知对任意正整数都有11112.1!2!!n例题11141.23100例:求11112121.11221,232,,212101100.10011112101118.23100kkkkkkkk由知故所以111,121121,111221,232,,231210099,10011112100111923100111118.23100kkkkkkkk又所以所以故例题25440510.xx例:求方程的实数解222224514040,440510,1.58.5.1.52,1,411.23,2,29429,.234,3,69469,.245,xxxxxxxxxxxxxxxxxxx由已知有得当时原方程变为(不合适)当时原方程变为(合适)当时原方程变为(不合适)当24,1094109,.2xx原方程变为(不合适)222212356,5,1494149,.267,6,1894189,.278,7,2294229,.288.5,8,2694269,.2429189229,,,222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx当时原方程化为(不合适)当时原方程化为(合适)当时原方程化为(合适)当时原方程化为(合适)故原方程有个解4269.222405140,4014040,4014051401.58.53.56.51.53.56.58.5xxxxxxxxxxxxx解法改进:由已知有且得解不等式得或即或。高斯函数的性质4,.nZxRnxnx性质:对任意和都有高斯函数的性质60,0,.xyxyxy性质:若则例题6248163212345.xxxxxx例:证明方程没有实数解,,01.,222,444,888,161616,323232.24816321234563.01,01,01234563137153xnnZxnxnxnxnxnxnnkkn假设方程有实数解于是代入原方程化简、变形得到由于故有157,1228812345,6363195.04195.95.,.nnn得即而这样的整数不存在故方程无实数解高斯函数的性质1,,01.xRxxxx性质:对任意都有且例题373.xx例:解方程322330.,,3.01,13,1,12,2.0.1.4,4.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx易知因知故注意知知代入原方程知例题8,121.nNnxxxxnxnnn例:求证:01.121121..121xxnxxxxnnnnnxnnnnxnxnnnnnn设则左边右边原等式化简为证明①1[0,1),[,)1,2,,11[,),.1,1.111122,,,,,12111,,2.kknknnnkkkknnnnknknkkkkkkknnnnnnnnkpknkppnknnnnnnn将区间等分为个小区间考察其中一个设即所以故另一方面,,1,211.,.pipknpnnnkk显然时才有而满足这个条件的共有个所以①式成立也即原等式成立1212.11111211112111nfxxxxxnxnnnnfxxxxxnxnnnnnnnnnnxxxxnxnnn解法:设则有12111.1,.1121[0,),0,,,,1,01.0.,,0..nxxxxnxnnnfxfxnnxxxxxnxfxnnnnfxxfx知是周期函数且周期为当时且所以又因为是周期函数所以对任意实数命题成立高斯函数的性质5,,,.xyRxyxyxyxy性质:对任意的都有例题9,,:2.12xnxxnxnxn例:为实数为正整数求证121112.1.2;2,2,,1..,111,knnnnnnnxxxkxAxkAxAxAnxAnxnAnAnxnAnAnx用数学归纳法来证显然对有成立设下面来证明由211121222,,,2nnAAxAxnnAAAAxxnx知这个等式的和为1212.2211221,51221,.nnnnnnAxxnxAAAnAxxnxxxnxxnxxnxnxxnxnAxnxxnxnxxnxnxnxnxnxnnxAnx则由归纳假设知由性质知故有欧拉函数121212,.,111111.maaammnnnnnnpppnnppp设为正整数欧拉函数为小于等于的正数中与互素的数的个数若的标准分解式为则欧拉定理,,,1,1mod.nanZanan若且则例题100011526,.xx例:设求的末三位数10001000210002998349963100010004984995009964399823310001000100011111,5265262[552352352352323].526,05261,01.1.25CCCCxxxxxxx由二项式定理是一个正整数记因为所以所以因为500000321000223mod1000,5625mod1000,2,25250mod1000.kk因为只要自然数所以10010050015005003150150015015001111251251100,521mod125,31mod125,231mod125.2232mod125.230mod8,23752mod1000.2507522mod1000.11modxxxxx因为由欧拉定理所以所以又因为所以所以所以1000.001.x故的末三位数是例题323143,,:1,,;22891,.xxyynnxyn例:考虑方程其中为正整数试证如果方程有一组整数解则它至少有三组整数解当时方程没有整数解3233323233231,,3.33,3.,.,,,,,.xyyxyxnyxyxyxxyxxyxxyxxnyxxxyxyxyxyxy设是方程的一组解即因为故即业是方程的一组解同理也是方程的一组解而且因为不同时为零容易验证这三组解是不同的33223322891,,32891339632,2mod3.,:0mod3,1mod3,2mod3,1)2)3)2mod3,1mod3,0mod3.nxyxyxyxyxyxyxxxyyy假设方程在时有一组解则有①从而有对于有三种情况对332,3,32,,,33293293212.98,92,,.,2891,.xsytstststn于第一种情况令都是整数代入①式得到上式左端模等于右端模等于矛盾故无解类似地后两种情况也无解因此当时此方程无解练习1001192091546,100100100100.23.101nrrrrrn1.若实数使得求2.计算:的值

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