竞赛数学(张同君陈传理)代数1(多项式与方程)

代数多项式与方程一元多项式012111001101,,,,,,,,0,1,2,,,.,,,,,,,0,,nnnninniiiiinnnnaaaaxfxaxaxaxaaxxaxinfxiaiaaaafxOafxnn定义：设是非负整数是数是未定元则表达式称为关于的多项式（一元多项式）称为的次项称为次项的系数如果系数全为零则称为零多项式记作如果则称为次多项式称,deg...1,1.nfxfxnafx为的次数记作零多项式不定义次数称为的首项系数首项系数为的多项式简称首多项式注意零次多项式与零多项式的区别。一元多项式:,,,,,.,,,.NZQRCZxQxRxCx约定在本节中用大写字母分别表示正整数集、整数集、有理数集、实数集、复数集用分别表示整系数、有理系数、实系数、复系数的一元多项式的集合一元多项式002,,,,0,1,2,,,nmiiiiiiiifxaxgxbxnmabinfxgx定义：若多项式与的次数相同而且同次项的系数相等即且则称与相等。一元多项式0001203,,,,,0,.nmijijijnkkkkmmnnmkijkijkfxaxgxbxmnfxgxabxmnbbbfxgxabx定义：两个多项式的和、差、积定义为：设则当时取则多项式的根111011109,0,.nnnnnnnnfxaxaxaxacfcacacacacfx定义：设多项式若数适合那么称是的根或者零点例题232331,axbxcaxbxc例：二次三项式有实数根三项式也有实数根吗？223633633323323333233,4.0,44.0,04,40,.axbxcbacacbacacacbacaxbxcbacaxbxc因为有实数根所以如果那么如果那么所以的根的判别式故也有实数根多项式的整除性2,0,,,0degdeg.,.fxgxgxqxrxfxgxqxrxrxrxgxqxgxfxrx定理：（带余除法定理）设与是多项式且那么存在惟一的一对多项式与使这里或者叫做以除所得的商式叫做余式多项式的整除性4,0,,|,,.0,,|fxgxqxrxrxgxfxgxfxgxfxfxgxrxgxfxgx定义：在式中当时称整除记为也称是的因式或是的倍式若则称不整除记为.fx多项式的整除性40.fxxafa定理：（因式定理）多项式有因式的充要条件是多项式的根01210,.1,,,,,,0,1,2,,,.niifxgxnnxxxxfxgxinfxgx定理：（多项式恒等定理）设是两个次数不大于的多项式如果有个不同的数使则多项式的根1:.2,.fxgxfxgxxfx推论：多项式与恒等的充分必要条件是对的无穷多个值成立推论：若多项式有无穷多个不同的根则是零多项式例题2,12.PxtPttPtt例：试确定所有的实系数多项式使得对所有实数均成立2,210,10,1.1,010,0.,(1),.112121,tPPPxtPPPxPxxxqxqxPtttqttttqttttqt取则即是的一个根取则即也是的一个根由因式定理可写成的形式其中是实系数多项式将代入条件中的等式得故1,0,1,2.3,3330,443330,,0,3,4,5,,,102,,3,1,.,,1.qtqttsxqxqsqqsqqqqsnnsxsxqxqcxxcRcRPxcxx令则可推得即多项式有无穷多个根由定理推论知是零多项式所以是常值多项式故所求多项式必为的形式其中另一方面若满足条件中的等式因此所求的多1,.PxcxxcR项式为一元多项式10,0,degmaxdeg,deg,0;degdegdeg.fxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgx定理：如果多项式那么其中例题2223,,,.0.fxgxhxfxxgxxhxfxgxhx例：设为实系数多项式且适合求证：222222,,0,.,,.0,0.gxhxxgxxhxfxfxxgxxhxgxhxfx假设与中至少有一个非零多项式由于所给多项式都是实系数多项式从而且是奇次的而或偶次多项式或为零多项式这表明两边的多项式的次数不等与多项式相等的条件矛盾故从而可得例题2224,:,,.PxxyPxyPxPy例：设是具有非负系数的二次三项式证明对于任意实数不等式恒成立柯西不等式222111nnniiiiiiiabab20120122220122220011222222222201201222222201201222222,,,.,,.PtaatataaaPxyaaxyaxyaaaxayaxayaaxaxaayayaaxaxaayayPxPyPxyPxPy设二次三项式其中系数为非负数则由柯西不等式有则原不.等式成立多项式的根11100150,,1)|,|;2),.nnnnnnfxaxaxaxaanfxmmananfxxqxqxZxm定理：设是整系数多项式若有理数（既约分数）是的一个根那么多项式的根11,.2.fx推论：如果整系数多项式的首项系数为那么的有理根只能是整数推论：整系数多项式的整数根一定是常数项的约数例题5,,,:.abcacbabcbcacbaabc例：整数使得与均为整数证明321.,,1.,,,151,,,,1,abcfxxxxbcaabcacbxxxbcacbaabcfxbcaabcbca构造多项式由题目条件知是整系数多项式且首项系数为因为是它的三个有理根由定理推论知均为整数又因为它们的乘积为所以有1..abcbcaabc多项式的分解11109,,|nnnnfxaxaxaxaZxpp定理：（艾森斯坦判别法）设多项式如果能找到一个素数使2,|0,1,2,,1,|niapainp但0,.afx那么在有理数域上不可约例题5432636396.fxxxxxx例：证明在整数范围内不可约23,31,3,36,,,.pfxfxfx存在素数不整除首项系数整除的其余各项的系数但不整除常数项由艾森斯坦判别法在有理数范围内不可约从而在整数范围内不可约韦达定理1110121122121312310,,,,,nnnnnnnnnnnnnnnfxaxaxaxaxxxaxxxaaxxxxxxxxxxa如果一元次多项式的根是那么01211.nnnnaxxxxa例题227,02110?bcxbxcxbxc例：是否存在这样的实数和使得方程与分别有两个整数根212121212234.,0,,,,.,,,.,2110,,bcbcxbxcxxbxxcxxxxbcxxxbxc满足题目条件的实数和不存在假设实数和满足题设条件并设方程的两个整数根为则由韦达定理有由于为整数因而不可能都是奇数又设是方程的两个整数根则由韦达定理有34343411,.22,,,..,.bcxxxxxxbcbc因为为整数所以均为奇数上述两种情况矛盾故满足题目条件的实数不存在例题28110,ixixiiR例：二次方程为虚数单位有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为0220000200,,,,10,10,xxxxxixx因正面求解有一定困难因此从问题的相反方向考虑设方程有实根将它代入原方程并整理得于是①2000002000,110,1,1,1,1,1,10,2.2,xxxxxxx②①②故或分别代入得或无实根可知当且仅当时原方程,2.有实根于是原方程有两个虚根的充分必要条件是例题29,,,,,,.,,,,,,,20pqabcpqpaqpbcqbxaxcABCD例：给定正数其中若是等比数列是等差数列则一元二次方程无实根有两个相等实根有两个同号相异实根有两个异号实根22223322,,2,2,22,.33,223333.,,,44pqabpccqbpqpqbcpqpqppqpqqbcpqpqpqapqbcaabc由题意得由后两式得由三元均值不等式得因为所以只能是所给一元二次方程的判别式0.,..A因此所给方程无实根故应选例题3310,,1199711,1199711.xyxxyyxy例：设为实数且满足则3331199711,1199711.,1997,11.,,11,xxyyftttfxfyftxy原方程组变形为根据方程组的结构特征构造函数则由方程组得因为在上为增函数所以即2.xy例题222222114,144,14414,.xyxyzyzxz例：求方程组的所有实数解并证明你的解答是正确的23222221,,44,4410,1,0.2,0,0,0,1111,,14141111,,1414..xyxyzxxxxxxxxyxyzxyzxzxzxyzyzxyzxxy解法：设则解得或设因为所以所以于是所以于是自相矛盾由也可推出自相矛盾的结论因此,:111,,0,0,0,,,,.222xyzxyz方程组仅有两组解和22222222222220,0,0,0,0,0.0,0,0,444.141414144,144,144444.4441,2xyzxyzxyzxyzxyzxyzxxyyzzxyzxyzxyzxyzxyz解法：由题设有显然是方程组的一组解当时三个方程相加得由均值不等式得故当且仅当时上.111,,,.222111,:,,0,0,0,,,,.222xyzxyzxyz式中等号成立经检验知是方程组的解因此方程组仅有两组解和例题3330,12.18xyzxyz例：求方程组的整数解3333333,,0,,.,,0,0,0.30.,1830,6.6123.0,xyztptqpqxyzxpxqypyqzpzqxyzpxyzqqqxyzxyz