竞赛数学(张同君陈传理)代数4(函数与最值)

代数函数与最值最值与条件最值P147定义1。P147定义2。消元法条件最值问题一般都含有2个或2个以上的变元,如果能够根据约束条件消去一些变元,使目标函数只含有一个变元,问题就转化为求一元函数的最值问题了,这样处理问题的方法称为消元法.例题221222121:,2350,,,.xxxkxkkkRkxx例已知是方程的两个实数根问当为何值时有最大值并求出这个最大值22212,241350,316160.,2,kkkkkxxk由于所给二次方程有实根故判别式即①由韦达定理有②21235.xxkk③221212122222121212,,.,,.,,,210yxxxxkxxyxxxxxxkk因此本例实际上就是在约束条件①、②、③下求目标函数④的最大值这里包含的变元有为了消去讲②、③代入④得222126519,44.344,,3,4,18.kfkkfkkxx⑤而由①得于是问题就归结为求在区间上的最大值了容易得到当时有最大值例题22222:440,,242.xyfxyxxyyxy例在约束条件下求函数的最大值222222224401.4,2cos,sin,242,4coscossinsin2cossin44cossin2cossin.cossin,2xxyyxyfxyxxyyxyfuu约束条件可化为这是一个椭圆将其参数方程代入目标函数中有令22sin2,4421221,2,,2,,232.2,2,.42guuuuuuuufxyxy则转化为讨论函数的最大值问题显然当取最大值时取最大值此时解得借助于几何图像研究条件最值这里,我们只限于讨论二元函数的条件最值,对于多元函数的情形也有类似的推广.例题224,5,2.xyxytxyx例：若实数满足试求的最大值与最小值xyyCABDOHEF22225,5.211.xyABCDtxyxxyt约束条件确定的点集是如图所示的正方形的边界其中顶点到中心的距离为目标函数可写为2max,1,0,1,1,,,,.6,,6135.5,0.tHttttABCDCHCtC当把看作参数它表示一个以为圆心的同心圆簇表示圆的半径显然与同时达到最大（小）值因此，要求的最大（小）值只需求圆簇中与正方形的周界有公共点的具有最大（小）半径的圆由图显而易见过点的圆半径最大此时圆的半径于是得其最大点为由图可见2min2,22.,22217.3,23,2.ABCDABADHEHFHAtEF，半径最小的圆是与正方形的两边、相切的圆此时圆的半径为于是得最小点有两个和由不等式导出的最值问题不等式与函数的最值问题是密切联系着的.有一个最值问题的解,可以得到一个不等式.反过来,不等式是求最值的重要工具之一.许多不等式可以解释为最值问题的解.平均值不等式12112212121122121212112211221:,,,,,,,,,.2:,,,,,,,,,.nnnnnnnnnnnnnnxxxaxaxaxSaaaSxxxaxaxaxxxxxxxMaaaMaxaxaxaxaxax定理设正变数满足线性方程这里都是正常数那么乘积当时为最大定理设正变数满足方程若都是正常数那么函数当时为最小例题216:130,.3yxx例求函数在内的最大值23333max,32132,23120,,0,20.,332233243.232924322,32140,.93243yxxxxxxxxAGxxxyxxxy将原函数变形有因故由得等号当且仅当时成立即函数在处取得最大值23132132131,327213,.yxxxxxxxxxxx注：不要如下面求解因为此时等号成立条件无解即无法取到最小值例题113123112312123:lglg1,lglg1,lglg1,,,,.axxxxbxxxxcxxxxabcMM例设记中最大数为则的最小值是多少1112323111111321232311321231211231321232311lg,lg,lg.,,,lg.,,,,axxxbxxxcxxxxxxxxxxxxAMAxxxRAxxxxxxxxxxxx由已知条件得设中最大数为则由已知条件知于是1123224.,2,,2,2,lg2.AxxxAAM所以且当时故的最小值为从而的最小值为例题28:0,0,02356,.xyzxyzuxyz例在约束条件及下求目标函数的最大值4max135,15,2356,,631:35,,,4223,101327.15280uxxyzxyzxyzxyzu注意到目标函数根据约束条件是定值因此根据平均值不等式可得当即时有琴生不等式12121211111212123:,,,,,,,,,1,;,,.:,,,,,nnnnnnnnnfxIxxxIRfxxfxfxfxIxxxfxIxxxIxxf定理若在区间内上凸则对任意以及任意必有若在区间内下凸则不等号反向其中等号均当且仅当时成立推论若为区间内的上凸函数则对任意总有1212;,,.nnnnfxfxfxxnnfxIxxx若为区间内的下凸函数则不等号反向其中等号当且仅当时成立例题9:,.nn例证明在圆的内接边形中以正边形的面积为最大12212121212,,,,,,1sinsinsin.2sin,0,,sinsinsin2sinsin.,,.nnnnnrnSSrfxxnnnnSn设圆的半径为内接边形的面积为各边所对的圆心角分别为则设由于它在内上凸于是有所以当时取最大值也就是以正边形的面积为最大ｒθ幂平均不等式111212112120,1,2,,,,..,,,,,.innnnxinxxxxxxnnnxxxMxxxnMMM若则　　　　等号当且仅当个正数全相等时成立为便于书写我们把　　　　简记为上述幂平均不等式就可以简写为　　　　例题333100,0,01,111.abcabcuabcabc例：若且求　　的最小值3113333111,,,,111311131111.3111,.abcabcMMabcabcabcabcabcabcabcabc考察三个正数的幂平均数由得　　　　　　　　　　　　　其中等号在即时成立11113333333,,,,,1111.3331119.,11110,33111abcMMabcabcabcabcabcabcabc另一方面考虑三个正数的幂平均数由得　　　　　　于是把这个结果代入到前面的不等式得　　　　　即　　　　　1000.911000,.39abc当时所求最小值为例题2222211:,,,,8,16,.abcdeabcdeabcdee例已知是满足的实数试确定的最大值222222222222222228,16,444,4168,5160,abcdeabcdeabcdabcdabcdabcdeeee由题设有于是不等式有即或所以max160.5,166,.55eabcdeabcd以上不等式当且仅当时等号成立由此可知此时例题22212:1,23.xyzuxyz例设求函数的最小值1122222min,11123123111232311.666,,,1111xyzxyzxyzuuu根据已知条件和柯西不等式我们有因此由此推得只min,,66.1111xyzuu要能找到一组使恰好取就能证明,2,3,,23,,1,236326,,,.111111116,,,.11xyzxyzxyzxyzxyzu为此应用柯西不等式中等号成立的条件可列出方程即带入条件求得所以容易验证对这组有林懿