17届希望杯数学竞赛初二第二试试题(含答案)[1]

1第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试2006年4月16日上午8：30至lO：30得分___________一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．1．下列四组根式中，是同类二次根式的一组是()2．要使代数式有意义，那么实数x的取值范围是()3．以线段a=13，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a，c为梯形的两底，这样的梯形()(A)能作一个．(B)能作两个．(C)能作无数个．(D)一个也不能作．(英汉词典：Fig．figure的缩写，图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable变量；todependon取决于；position位置)(A)是完全平方数，还是奇数．(B)是完全平方数，还是偶数．(C)不是完全平方数，但是奇数．(D)不是完全平方数，但是偶数．6．将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片的不重合部分，展开纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合的部分后展开，此时纸片的形状是()(A)正方形．(B)长方形．(C)菱形．(D)等腰梯形．7．若a,b,c都是大于l的自然数，且ca=252b,则n的最小值是()(A)42．(B)24．(C)21(D)15(英汉词典：two-placednumber两位数；number数，个数；tosatisfy满足；completesquare完全平方(数)；total总的，总数)9．下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，不标注的则表明名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超过两位，则上星期排在第1，5，7名的歌曲分别是()2(A)D，E，H．(B)C，F，I．(C)C，E，I．(D)C，F，H．10．设n(n≥2)个正整数1a，2a，…，na，任意改变它们的顺序后，记作1b，2b，…，nb，若P=(1a-1b)(2a-2b)(33ba)…(na一nb)，则()(A)P一定是奇数．(B)P一定是偶数．(C)当n是奇数时，P是偶数．(D)当”是偶数时，P是奇数．二、填空题(每小题4分，共40分．)11．消防云梯的长度是34米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼16米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是______米．15．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的94，那么此n边形的内角和为_____．16．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适，那么人从感染第一个病毒后，经过_______分钟，就会感到不适．(1米=109纳米)19．如图2，等腰△ABC中，AB=AC，P点在BC边上的高AD上，且21PDAP，BP的延长线交AC于E，若ABCS=10，则ABES=______，DECS=_______.20．一个圆周上依次放有1，2，3，…，20共20个号码牌，随意选定一个号码牌(如8)，从它开始，先把它拿掉，然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8，10，12，…)，并一直循环下去，直到剩余两个号码牌时停止，则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______．三、解答题(本大题共3小题，共40分．)要求：写出推算过程．21．(本小题满分10分)如图3，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EF∥GH．EF=GH．(1)若AE=AH=a31，求四边形EFGH的周长和面积；(2)求四边形EFGH的周长的最小值．322．(本小题满分15分)已知A港在B港的上游，小船于凌晨3:00从A港出发开往B港，到达后立即返回，来回穿梭于A、B港之间，若小船在静水中的速度为16千米／小时，水流速度为4千米／小时，在当晚23：OO时，有人看见小船在距离A港80千米处行驶．求A、B两个港口之间的距离.23．(本小题满分15分)在2,3两个数之间，第一次写上5132，第二次在2，5之间和5，3之间分别写上27252和4235,如下所示：第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的k1.(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和；(2)经过k次操作后所有数的和记为kS，第k+1次操作后所有数的和记为1kS，写出1kS与kS之间的关系式；(3)求6S的值.4第十七届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准(初中二年级第2试)一．选择题(每小题4分)二．填空题(每小题4分)三、解答题21．(1)如图1，连结HF．由题知四边形EFGH是平行四边形，所以又所以所以(3分)所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形，故∠EHG=090，四边形EFGH是矩形．易求得所以四边形EFGH的周长为2a2，面积为294a．(5分)(2)如图2，作点H关于AB边的对称点H，连结HF，交AB于E，连结EH．显然，点E选在E处时．EH+EF的值最小，最小值等于HF.(7分)仿(1)可知当AE≠AH时，亦有(8分)所以因此，四边形EFGH周长的最小值为2a2．522．设A、B两个港口之间的距离为L，显然(1分)(1)若小船在23：00时正顺流而下，则小船由A港到达下游80千米处需用即19：00时小船在A港，那么在3：00到19：00的时间段内，小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t小时，则逆流行驶用了(16一t)小时，所以解得t=6(5分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间的距离是120千米．(7分)(2)若小船在23：00时正逆流而上，则小船到达A港需再用即小船在内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t小时，则逆流行驶用了小时，所以解得(12分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米．(14分)综上所述，A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米．（15分)23．(1)第3次操作后所得到的9个数为它们的和为255(4分)(2)由题设知0S=5，则(10分)(3)因为所以(15分)