4-3高三复习周精讲精练-两角和与差的正、余弦与正切

《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页●基础知识《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页3．降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2.三、角的变换要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(α＋β)－(β－α),4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，(α＋β)是12(α＋β)的二倍等等．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页●易错知识一、公式的逆用和变形应用失误．1．sin20°cos50°－sin70°cos40°＝________.答案：－12《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页2．cos113°cos23°＋sin113°cos67°＝________.答案：03．tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝________________.答案：1《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页4．已知α＋β＝π4，那么(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.答案：2二、多角度转换易错．转化的思想是实施三角变换的主导思路，变换包括函数名称变换、角的变换、1的变换、和积变换、幂的升降变换等等．5．(2005·全国Ⅲ)2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α＝()A．tanαB．tan2αC．1D.12《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α＝2sin2α2cos2α·cos2αcos2α＝tan2α.故选B.答案：B三、忽视角的范围而失误．6．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则角2α－β＝________.答案：－3π4《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页四、公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)应用失误．7.2sin(π4－x)＋6sin(π4＋x)＝________.答案：22sin(5π12＋x)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页●回归教材1．(教材P4611题改编)已知tan(α＋β)＝1，tanβ＝13，则tanα的值为()A．－2B．－12C.12D．2答案：C《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页2．在△ABC中，“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝22，故选B.答案：B3．(2010·福建，2)计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.32《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：∵α是第三象限的角，∴sinα＝－35，sin(α＋π4)＝22(sinα＋cosα)＝－7210，故选A.答案：A4．(2010·课标，10)若cosα＝45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝()A．－7210B.7210C．－210D.210《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页答案：－35．(教材P1019题改编)已知sin(α＋β)＝13，sin(α－β)＝23，则tanαtanβ＝________.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页这类问题主要就是充分利用公式和公式的变形，通过代数上的运算技巧，使其出现特殊角或正负相抵消、分子分母约去相同因式等手段，进行三角函数式的化简与求值．【例1】化简：(1)sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3cos(120°－x)；(2)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：(1)解法一：sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3cos(120°－x)＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2(sinxcos60°－cosxsinx60°)－3(cos120°cosx＋sin120°sinx)＝12sinx＋32cosx＋sinx－3cosx＋32cosx－32sinx＝0.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解法二：sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3cos(120°－x)＝sin(x＋60°)＋3cos(60°＋x)＋2sin(x－60°)＝2[sin(x＋60°)cos60°＋cos(x＋60°)sin60°]＋2sin(x－60°)＝2sin(x＋120°)＋2sin(x－60°)＝－2sin(x－60°)＋2sin(x－60°)＝0.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(2)原式＝sin(15°－8°)＋cos15°sin8°cos(15°－8°)－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－3.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页点评：在解题时应整体把握式子的结构特点，从式子的结构特点出发寻找化简、求解的方向．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(1)在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanA·tanB的值为()A.14B.13C.12D.53《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页答案：B解析：∵∠C＝120°，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3.又∵tanA＋tanB＝233，∴1－tanAtanB＝23.∴tanA·tanB＝13.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(2)在△ABC中，若cosA＝45，cosB＝513，则cosC的值是()A.1665B.5665C.1665或5665D．－1665《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝1665.答案：A解析：在△ABC中，0Aπ，0Bπ.∵cosA＝450，cosB＝5130，得0Aπ2，0Bπ2，从而sinA＝35，sinB＝1213.∴cosC＝cos[π－(A＋B)]《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页规律总结：1.应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路．2．在运用和差公式处理三角形中的问题时，要注意三角形本身的性质，如：A＋B＋C＝π；ab⇔AB⇔sinAsinB，若A为△ABC中最大的角，则A≥60°等．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页命题意图：考查分析，观察，总结，灵活应用公式的能力．分析：(1)60°为特殊角，20°，40°，80°成等比，公比为2，又函数名称为余弦，因此乘以sin20°后可连续应用倍角公式．(2)20°与40°和为60°特殊角，因此可考虑两角和正切公式的运用．求值：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；(2)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°＝12·sin40°2sin20°·sin80°2sin40°·sin160°2sin80°＝116.(2)tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页总结评述：(1)中利用正弦的二倍角公式的变形用法：cosα＝sin2α2sinα转化的公式形式，利用约分化简达到求值目的．(2)中利用两角和与差的正切公式的变形用法：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ).《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页这类问题主要是从条件的角与结论的角的关系入手，恰当地变换角的形式，应用公式或公式变形求解．【例2】(2008·天津，17)已知cosx－π4＝210，x∈π2，3π4.(1)求sinx的值；(2)求sin2x＋π3的值．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页分析：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．解析：(1)解法一：因为x∈π2，3π4，所以x－π4∈π4，π2，于是sinx－π4＝1－cos2x－π4＝7210.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页sinx＝sinx－π4＋π4＝sinx－π4cosπ4＋cosx－π4sinπ4＝7210×22＋210×22＝45.解法二：由题设得22cosx＋22sinx＝210，即cosx＋sinx＝15.①《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页又sin2x＋cos2x＝1，②由①②得25sin2x－5sinx－12＝0，解得sinx＝45或sinx＝－35.因为x∈π2，3π4，所以sinx＝45.(2)因为x∈π2，3π4，故cosx＝－1－sin2x《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页＝－1－452＝－35.sin2x＝2sinxcosx＝－2425，cos2x＝2cos2x－1＝－725.所以sin2x＋π3＝sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3＝－24＋7350.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页规律方法：1.在解决三角函数给值求值问题时，要注意：先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知条件，采用哪些公式，要认真考虑角的整体运用，恰当运用拆角、拼角等技巧．2．常见的变换与配凑：(1)α＝(α－β)＋β＝(α＋β)－β；(2)α＝α＋β2＋α－β2＝β＋α2－β－α2；《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(3)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(4)2β＝(α＋β)－(α－β)；(5)α＋β2＝