正弦函数的图象和性质教案

正弦函数的图像和性质作课人邵荣良教学目标：1、知识与技能目标通过研究正弦函数图像及其画法,理解并掌握正弦函数的性质，运用其性质解决相关问题2、过程与方法目标通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解，培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法3、情感态度与价值观用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。教学重点：正弦函数的性质教学难点：正弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有MPrysin，向线段MP叫做角α的正弦线，2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=sinx3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(2,1)(π,0)(23,-1)(2π,0)二、讲解新课：(1)定义域：正弦函数的定义域是实数集R［或(－∞，＋∞)］，(2)值域因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，即－1≤sinx≤1，也就是说，正弦函数的值域是［－1，1］奎屯王新敞新疆其中正弦函数y=sinx,x∈R①当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1奎屯王新敞新疆②当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1奎屯王新敞新疆(3)周期性由sin(x＋2kπ)＝sinx，知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的奎屯王新敞新疆一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期奎屯王新敞新疆由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期奎屯王新敞新疆对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期奎屯王新敞新疆注意：1.周期函数定义域x∈M，则必有x+T∈M,且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数;3.T往往是多值的（如y=sinx2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π奎屯王新敞新疆(4)奇偶性由sin(－x)＝－sinx可知：y＝sinx为奇函数∴正弦曲线关于原点O对称(5)单调性从y＝sinx，x∈［－23,2］的图象上可看出：当x∈［－2，2］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1奎屯王新敞新疆当x∈［2，23］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1奎屯王新敞新疆结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1求使正弦函数y＝sin2x，x∈R奎屯王新敞新疆取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么奎屯王新敞新疆解：令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝2＋2kπ，k∈Z｝由2x＝Z＝2＋2kπ，得x＝4＋kπ即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝4＋kπ，k∈Z｝奎屯王新敞新疆函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1奎屯王新敞新疆例2求函数y=xsin11的定义域：解：由1＋sinx≠0，得sinx≠－1即x≠23＋2kπ(k∈Z)∴原函数的定义域为｛x｜x≠23＋2kπ，k∈Z｝)例3求下列三角函数的周期1.y=sin(x+3)2.y=3sin(2x+5)解：1.令z=x+3而sin(2π+z)=sinz即：f(2π+z)=f(z)f[(x+2π)+3]=f(x+3)∴周期T=2π2.令z=2x+5则f(x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x+5+2π)=3sin(524x)=f(x+4π)∴周期T=4π四、课堂练习：1．求函数y=|sinx|的周期：2．直接写出函数y＝1+xsin1的定义域、值域：3．求下列函数的最值：(1)y=sin(3x+4)-1(2)y=sin2x-4sinx+5五、课堂小结正弦函数的性质、以及性质的简单应用，解决一些相关问题奎屯王新敞新疆六、课后作业：P57习题4.8的第1题的第13、小题，第2题的第134小题，第9题的14小题。七、板书设计（略）