搜索
《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页●基础知识一、三角函数的图象《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页三、图象变换函数y＝Asin(wx＋φ)(A＞0，w＞0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换得到：1．相位变换y＝sinx→y＝sin(x＋φ)，把y＝sinx图象上所有的点向(φ＞0)或向(φ＜0)平行移动||个单位．2．周期变换y＝sin(x＋φ)→y＝sin(wx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标(0＜w＜1)或(w＞1)到原来的倍(纵坐标不变)．左右φ伸长缩短《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页●易错知识一、利用五点法作图取点失误．1．用五点法作出函数y＝2sin(2x＋π3)的图象，所取五点分别为________________________________．答案：(－π6，0)、(π12，2)、(π3，0)、(7π12，－2)、(5π6，0)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页二、图象变换失误．2．要得到函数y＝sin(3x－π6)的图象，只需将y＝sin3x的图象________．答案：向右平移π18个单位长度《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页三、求函数的解析式失误．3．如图为正弦型函数y1＝Asin(wx＋φ)的一个周期的图象．(1)y1的解析式为________________________；(2)若y1与y2的图象关于直线x＝2对称，则y2的解析式为________．答案：(1)y1＝2sin(π4x＋π4)(2)y2＝2sin(π4x－π4)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页四、函数的对称性失误．4．函数y＝2sin(2x－π6)的对称中心为________，对称轴为________．答案：(kπ2＋π12，0)(k∈Z)x＝kπ2＋π3(k∈Z)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：∵f(－x)＝1＋cos(－x)＝1＋cosx＝f(x)．∴选B.答案：B●回归教材1．函数y＝1＋cosx的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝π2对称《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页2．(2010·四川，7)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin(2x－π10)B．y＝sin(2x－π5)C．y＝sin(12x－π10)D．y＝sin(12x－π20)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：将函数y＝sinx的图象上所有点向右平移π10个单位得到y＝sin(x－π10)，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin(12x－π10)，故选C.答案：C《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：∵y＝sinx的图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x＝－π4＝kπ，得x＝kx＋π4，检验可知B正确．答案：B3．(教材P45题改编)函数y＝sin(x－π4)的图象的一个对称中心是()A．(－π，0)B．(－34π，0)C．(34π，0)D．(π2，0)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页4．(2010·山东青岛)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝2cos(x2－π3)B．f(x)＝2cos(4x＋π4)C．f(x)＝2sin(x2－π6)D．f(x)＝2sin(4x＋π4)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：由函数图象可知：函数的最大值为2，且过点A(2π3，2)，B(0,1)，C(5π3，0)，可知解析式可为f(x)＝2cos(x2－π3)．答案：A《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页5．要得到函数y＝2cosx的图象，只需将函数y＝2sin(2x＋π4)的图象上所有点的横坐标________(伸长、缩短)到原来的________倍(纵坐标不变)，再向________(左、右)平行移动________个单位长度．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：将函数y＝2sin(2x＋π4)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin(x＋π4)的图象，再把y＝2sin(x＋π4)的图象向左平行移动π4个单位长度得到y＝2sin(x＋π2)，即y＝2cosx的图象．答案：伸长2左π4《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页用“五点法”作正、余弦函数的图象要抓住四点：(1)化为正弦型y＝Asin(ωx＋φ)或余弦型y＝Acos(ωx＋φ)；(2)周期T＝2π|ω|；(3)振幅A(A0)⇒最大值A和最小值－A；(4)列出一个周期的五个特殊点．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页【例1】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)，其中a，φ为正常数且0φπ，若f(x)的图象关于直线x＝π6对称，f(x)的最大值为2.(1)求a和φ的值；(2)求f(x)的振幅、周期和初相；(3)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(4)由y＝f(x)的图象经过怎样的平移得到y＝2sin(2x＋π3)的图象？《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页命题意图：用“五点法”作正、余弦函数的图象要抓住以下四条：①将原函数化为正弦型y＝Asin(wx＋φ)或余弦型y＝Acos(wx＋φ)；②求出周期T＝2π|w|；③求出振幅A(A0)⇒最大值A和最小值－A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：(1)f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)≤1＋a2，则由1＋a2＝2及a0，求得a＝3，于是f(x)＝sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)＝2[sin(2x＋φ)·cosπ3＋cos(2x＋φ)·sinπ3]＝2sin(2x＋π3＋φ)，又f(x)的图象关于直线x＝π6对称，《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页则当x＝π6时，f(x)取得最值，故2·π6＋φ＋π3＝kπ＋π2，则φ＝kπ＋π2－2π3＝kπ－π6(k∈Z)，又0φπ，求得φ＝5π6.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(2)由(1)可知f(x)＝2sin(2x＋7π6)，所以函数f(x)的振幅为2，周期T＝2π2＝π，初相为7π6.(3)列出下表，并描点画出图象(如图所示).《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(4)∵f(x)＝2sin(2x＋7π6)，∴把y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标沿x轴方向向右平移5π12个单位即可得到y＝2sin(2x＋π3)的图象．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页[总结评述]作函数y＝Asin(wx＋φ)图象常用的方法有五点作图法和图象变换法.“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点，三个平衡位置(点).对于零点要从图象的升降情况判断其为“第一零点”还是“第二零点”.在用变换法作图象时，提倡先平移后伸缩.但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言的，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.如函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，得到的函数表达式应为y＝sin2(x－)而不是y＝sin(2x－)．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页总结评述：用“五点法”作图应抓住四条：①化为y＝Asin(wx＋φ)(A＞0，w＞0)或y＝Acos(wx＋φ)(A＞0，w＞0)的形式；②求出周期T＝2πw；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页对于y＝f(x)的图象，若把图象沿x轴平移a个单位(a＞0)，则向左平移把x换成x＋a，向右平移把x换成x－a，即“左加右减”，其它数均不变．若把图象上各点的横坐标伸长到原来的w倍(w＞1)，则只需把x换成1wx；若把图象上各点的横坐标缩短到原来的1w倍(w＞1)，则只需把x换成wx；若将图象上各点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍(1A倍)(A＞1)，则只需在f(x)前乘以A或(1A)，y＝f(x)即可变为y＝Af(x)(y＝1Af(x))．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页当相位变换与周期变换互换顺序后，平移的单位可能不同，如本题先把y＝sinx图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y＝sinx2的图象，再把y＝sinx2的图象向左平移π3个单位得y＝sin[12(x＋π3)]＝sin(x2＋π6)的图象，而不再是向左平移π6个单位.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页这是高考的一个热点，几乎每年都要设计一道，应属于容易题，关键要把握三种变换的本质，尤其是对先平移后伸缩，还是先伸缩后平移区分和选用时机的准确把握．还要注意明确不管伸缩变换还是平移变换都是针对x而言．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页【例2】将函数y＝sin(x＋π6)(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为()A．y＝sin(2x＋5π12)(x∈R)B．y＝sin(x2＋5π12)(x∈R)C．y＝sin(x2－π12)(x∈R)D．y＝sin(x2＋5π24)(x∈R)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：函数y＝sin(x＋π6)的图象上所有的点向左平行移动π4个单位长度，针对x而言就是变为x＋π4，得到y＝sin(x＋5π12)，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，针对x而立就是变为x·12，得到y＝sin(x2＋5π12)．答案：B《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页规律总结：1.图象变换的两种路径：将y＝sinx图象变换为y＝Asin(ωx＋φ)有以下两个路径(如图)：路径①：先平移|φ|个单位(纵坐标不变)，再将各点横坐标缩短(ω1时)或伸长(0ω1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将各点纵坐标伸长(A1时)或