1.1分析力学基本概念

牛顿方程是描述物体机械运动的唯一方式吗？22xmdxmFdtaF21()20LTVmxVxdLLdtxx2()2,xxxpHTVVxmHHxppx牛顿方程Lagrange方程Hamilton方程21(,,)0ttSLxxtdtHamilton极值原理牛顿方程是描述物体机械运动的唯一方式吗？21(,,)0ttSLxxtdt变分原理：全局描述(x1,y1)(x2,y2)分析力学的基本原理牛顿力学：局部描述所需时间最短第一章分析力学牛顿力学：1687年，《自然哲学的数学原理》。困难：多质点多约束系统的受力分析。分析力学：拉格朗日于1788年奠定,研究对象是质点系。运用数学分析(变分法)的方法。(标量力学,整体到个体)利用纯数学分析方法，将动力学方程用统一的原理与公式进行表达。以拉格朗日方程为基础，称为拉格朗日力学。1834年哈密顿将拉格朗日方程变换成正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。1.分析力学的建立分析力学发展过程①1717年，伯努利提出虚功原理，处理力学体系的平衡问题。②1744年，莫培督提出最小作用量原理。③1752年，达朗贝尔提出达朗贝尔原理，把动力学问题化为静力学问题来处理。④1760年，拉格朗日提出了动力学的普遍方程－拉格朗日方程。⑤1788年，拉格朗日写《分析力学》，全书没有一幅图，奠定了分析力学的基础。⑥1834年，哈密顿提出哈密顿正则方程。⑦1843年，哈密顿提出哈密顿原理。分析力学的特点牛顿力学分析力学1、数学空间、广义坐标2、侧重“力”，“加速度”3、以牛顿三定律为基础4、运用微积分1、真实空间、一般坐标2、能量（L函数、H函数）3、哈密顿原理(公理)为基础4、运用变分1分析力学提供了分析和求解复杂运动问题的一种简单有效的途径。2分析力学是学习和理解物理学（特别是量子力学）理论的基础。3分析力学具有优美的体系和表述形式。为什么要学分析力学？1.选取固定坐标系oxy2.选取广义坐标q3.写出动能和势能4.拉格朗日方程0),(21)sin(sin)cos(cos22VyxmTtataytataxVTLqq0sin02qqqqLLdtd为什么学习分析力学？xyoM(x,y)rtqt问题：质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速度绕圆圈上某点o转动，试球小环沿圆圈切线方向的运动。牛顿力学分析力学VS牛顿力学1.选取固定坐标系oxy；2.受力分析重力：，约束反力：惯性离心力:科里奥利力：3.运动方程（切向）0sin2qq0)2(-)(2-sin)()2()()(r22r2tttttttttqskmωvmamrmvmrmNkmgFdtdvmkmgGkNNrm2)(2rcvmFxyoM(x,y)rtqt为什么学习分析力学？【经典力学】是牛顿运动定律或与之有关且等价的其他力学原理，是宏观物体低速运动时的近似定律。两个基本假定：时间和空间是绝对的，与观测者的运动无关；相互作用的传递是瞬时到达的；只适用于与光速相比低速运动的情况。物理量在可以无限精确地测定。在微观系统中，所有物理量在原则上不可能同时被精确测定。两大支柱：牛顿三定律和万有引力定律。两个分支：矢量力学和标量力学。经典力学理论力学与分析力学的区别分析力学采用变分法，着眼于能量。理论力学采用几何法,着眼于力。2.分析力学的框架与思路教学内容与思路：拉格朗日力学：分析力学基本概念；自由度和广义坐标静力学:虚功原理动力学：变分原理→引入拉氏方程→应用实例(中心力场,微振动)哈密顿力学：哈密顿函数的引入→哈密顿原理→正则方程→应用实例哈密顿原理拉格朗日方程哈密顿方程对称性与守恒定律哈密顿-伽可比方程分析力学基本框架§1.1分析力学基本概念1.位形：系统中各质点的空间(相对)位置的集合称为位形。它表示了质点位置分布所构成的几何形象。2.自由系统：系统的位形和各质点速度不受预先规定条件的制约,可以任意变化称为自由系统。状态的描述包括两方面的参数：位形与速度。初始位置反映粒子的历史，速度反映运动趋向。3.约束：位形的坐标并不完全独立，存在某些关系，称为约束。这些关系的解析表达式构成约束方程。220),,(dtrdrdtdrrtrrf1.自由度与广义坐标2.约束的分类重点参考：P3-5(T)，P22－25(L)页一、几何约束与运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。如：Oxy),(yxMl222lyxO),(AAyxA),(BByxBrlxy0)()(222222BABABAAylyyxxryx几何约束方程的一般形式为0),,,,,,(111nnnrzyxzyxf约束的分类（重点）ＯＡ，ＡＢ距离一定例如：光滑地面上无规则滚动的球。A、B分别为球体内两质点。),(BByxBBvOxyCr为几何约束。ryB0rxB表面为运动约束。实际也是几何约束。可以积分。若圆盘可以横向摆动，或者是一球在平面上滚动，情况则不然。例如：平面上一圆盘直线滚动。约束可以写成：OxyC■■ABA、B两处质点的运动速度是相互关联的。例如，定向直线滚动或旋转时，成比例。但此时可以积分。若是无规则的滚动，则只能写成微分的形式，而且无法积分。这称为运动约束。0),,(trrf不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。严格地讲，是不可积分的运动约束。rxB2AxByBxAyAABABAAyyxxyxvA约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。BOyx本章只限于讨论受稳定、不可解、完整的约束系统二、定常约束与非定常约束约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。Oxy),(yxMu0l其约束方程2022)(utlyx非定常约束方程的一般形式为0),(0),,,,,,,(111trftzyxzyxfrnnnr三、双面约束与单面约束同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束（不可解约束）。只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束（可解约束）。并非约束面是单面还是双面。约束是对运动方向而言的。四、完整约束与非完整约束•几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。可以对广义坐标写成函数方程式，故必为不可解约束。•如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。只能写成广义坐标的微分方程式。0),,,,,,(111nnnrzyxzyxfOxy),(yxMl绳子此方向受限制，不可伸长此方向不受限制，可缩短若换成刚性杆，则为双面约束。两个方向均受到约束。双面约束用方程/等式描述。单面约束的约束方程的一般用不等式描述：4.自由度：即描述刚体系的位形坐标选取方法多种多样，但是描述该刚体系位形的最小坐标数是不变的。这个不变数为该系统的自由度数(简称自由度)，记为d。（1）自由度a、设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。则自由度数k为k＝3n–s（每增加一个约束条件（方程），就减少一个独立变量）若质点系为平面问题，则k＝2n–s实例：两质点，距离保持一定为l，能独立变化的变量只有5个。其坐标满足：2221221221)()()(lzzyyxx5.广义坐标（重点）：定义：描述完整系统位形的独立变量。其数目N等于完整系统的自由度。说明：广义坐标可是是线量，可以是角量，还可以是其他参量（如面积/体积）。它们并不组成坐标系或者矢量，只需规定零点和方向。直角坐标：（Xc，Yc)和(XD,YD)中分别任取一个，如（Xc,XD);(Yc,YD)四个坐标，两个约束条件，两个自由度。广义坐标：φ和θ，并不组成坐标系或者矢量，但需规定零点和方向。引入广义坐标的方便在于隐含了约束条件。如直线上的一维运动，只一个广义坐标。其实，前提是另外两坐标为零。对于完整约束，广义坐标的数目即是系统的自由度。广义坐标的选取并不唯一。要根据解题的方便任意选取。但前提是必须具备广义坐标的条件。x1d12d23d12与d23反映了两物体之间的距离，但并非两物体的坐标。只有X1是坐标。一个广义坐标不再是某个质点的坐标，而是描述整个系统位形的独立变量中的一个。各个广义坐标的地位是等同的。三个物体直线排列，以弹簧相联。一维运动。三个广义坐标。6.变换方程•定义：即广义坐标与直角坐标的变换关系。○lm1m2Oxyφ和广义坐标为：变换方程：xlylxxyxxcossin02211),,,(),,,(),,,(),,,(21212121kiikiikiikiiqqqrrqqqzzqqqyyqqqxx),,2,1(ni),,,(21kiiqqqrr变换的意义？建立拉氏函数表达式。求广义力，广义虚位移。xOxy2l1l),(AAyxA),(BByxB例如，图示双摆，有两个自由度，可取，为广义坐标来确定系统的位置。121211sinlxA11coslyA2211sinsinllxB2211coscosllyB为广义坐标，如果选择q,,,AAyx则坐标变换方程为AAxxAAyy0AzqcossinlxxABqsinsinlyyABqcoslzB广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的广义速度,写成tqqaadd7.位形空间：•s个广义坐标确定的力学系统的位形用S维空间中的一个点来表示。这种用广义坐标qs定义的s维空间就是位形空间。•系统位形随时间的变化就可用位形空间中的一条曲线或轨道来表示,曲线上每一个点都表示系统某一时刻的位形。（哈密顿原理）•位形空间是用分析方法研究力学问题所必须的一种抽象概念。8.运动方程：•为描述力学系统的运动规律，通常要寻求力、坐标、速度间的关系称为运动方程，通常是广义坐标的二阶微分方程组，给定初始状态，即可确定运动规律。（拉氏方程）0),,(qqqf