开普勒第三定律及其应用

开普勒第三定律及其应用（中学生理化报高一课标版31期）浙江王孟宁（通讯地址：311800浙江省诸暨市暨阳街道暨阳路170号日森大厦707室王孟宁）开普勒第三定律的内容为：所有行星半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，即R3/T2=k。式中的常数k只与太阳的质量有关，而与行星的质量无关。开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但该定律也适用卫星、飞船绕行星的运动。当该定律应用于卫星或飞船时，公式中的常数k只与行星的质量有关，而与卫星或飞船的质量无关。例1（09年四川高考题）：据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（）A.133.39B.123.39C.323.39D.233.3.9解析：设小行星和地球的轨道半径分别为R1、R2，则由开普勒第三定律得：232121)(RRTT（1）由（1）得：（322121)(TTRR（2）由线速度关系得：1221221121/2/2TRTRTRTRvv（3）由（1）、（2）、（3）式得小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为：3131212139.3)(TTvv。所以选项A正确。例2：飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T0（如图1所示），如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，且椭圆轨道与地球表面在B点相切。求飞船从A点飞到B点时间（已知地球的半径为R0）。解析：此题的实质是求飞船做椭圆运动的周期。这里要清楚圆是椭圆的一种特殊情况，开普勒第三定律对沿椭圆轨道运动的天体适用，对沿圆轨道运行的天体也同样适用，因而当飞船绕地球做圆周运动时也可应用开普勒第三定律。设r为椭圆轨道的半长轴，则从图1可得：r=)(210RR对飞船做圆周运动时应用开普勒第三定律有：R3/T02=k(1)对飞船做椭圆运动时应用开普勒第三定律有：r3/T2=k(2)由（1）、（2）式解得飞船做椭圆运动的周期为T=033TRr。BA·图1从A到B的时间为：t=T/2,所以：t=030)1(82TRR。例3：月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径R0的60倍，运行周期约为27天，应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多大高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就象停留在空中不动一样？（保留两位有效数字）解析：在空中象停留不动的卫星应是同步卫星。设人造地球卫星运行半径为R、周期为T，由同步卫星的周期与地球自转周期相同得T=1天。由开普勒第三定律有：kTR23（1）设月球轨道半径为Rˊ、Rˊ=60R0周期为Tˊ，同理有：kTR23（2）由（1）、（2）式得：03302332267.6)60()271(RRRTTR所以人造地球卫星在赤道平面内离地的高度为：H=R-R0=6.67R0-R0=5.67R0=5.67×6.4×103=3.6×104km字符数（不计空格）：1068邮政编码：311800联系电话：0575—87296059·