新课标人教版课件系列《高中数学》选修4-41.极坐标系的概念1、理解极坐标的概念,弄清极坐标系的结构(建立极坐标系的四要素);2、理解广义极坐标系下点的极坐标(ρ,θ)与点之间的多对一的对应关系;3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点,以及已知点能写出它的极坐标。教学目标目标在哪?在以…为X轴以…为Y轴,坐标是...算的太慢了!以天河路为X轴以广州大道为Y轴...请问:去广州塔怎么走?痴线!以天河路为X轴以广州大道为Y轴...以天河路为X轴以广州大道为Y轴...从这向东2000米。请问:去广州塔怎么走?请分析上面这句话,他告诉了问路人什么?从这向东走2000米!出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。一、极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点。引一条射线OX,叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向(通常取逆时针方向)。这样就建立了一个极坐标系。XO极坐标系的四要素?二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,用表示从OX到OM的角度,叫做M的极径,叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标。特别强调:表示线段OM的长度,既点M到极点O的距离;表示从OX到OM的角度,既以OX(极轴)为始边,OM为终边的角。题组一:说出下图中各点的极坐标ABCDEFGOX46535342①平面上一点的极坐标是否唯一?②若不唯一,那有多少种表示方法?③坐标不唯一是由谁引起的?④不同的极坐标是否可以写出统一表达式?特别规定:当M在极点时,它的极坐标=0,可以取任意值。想一想?极点(0,)(R)即极点有无数个极坐标。三、点的极坐标的表达式的研究XOM如图:OM的长度为4,4请说出点M的极坐标的其他表达式。思考:这些极坐标之间有何异同?思考:这些极角有何关系?这些极角的始边相同,终边也相同,也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式:π42kπ+4,极径相同,不同的是极角。(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3ABCDEFG题组二:在极坐标系里描出下列各点46535342ABCDEFGOX本节课总结:[1]极坐标系的建立需确定几条?极点;极径;长度单位和角度正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式?无数种。是因为极角引起的。[3]一点的极坐标有否统一的表达式?有。42k,四、1、负极径的定义说明:一般情况下,极径都是正值;在某些必要情况下,极径也可以取负值。(?)对于点M(,)负极径时的规定:[1]作射线OP,使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M,使OM=OXPMOXP=/4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点M(-3,/4)的位置[1]作射线OP,使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M,使OM=3四、3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的?根据极径定义,极径是距离,当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思?有比较才能有鉴别!把负极径时点的确定过程,与正极径时点的确定过程相比较,看看有什么相同,有什么不同?四、4、正、负极径时,点的确定过程比较OXPMOXP[1]作射线OP,使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M,使OM=3[1]作射线OP,使XOP=/4[2]在OP的上取一点M,使OM=3M画出点(3,/4)和(-3,/4)四、5、负极径的实质从比较来看,负极径比正极径多了一个操作,将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以说成旋转,因此,所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致,用“负”表示“反向”。练习:写出下列各点的负极径的极坐标(3,/4)答:(-3,+/4)(-3,-/4)(3,-/4)负极径总结:极径是负的,等于极角增加。负极径的负与数学中历来的习惯相同,用来表示“反向”特别强调:以后不特别声明,0。因为,负极径只在极少数情况用。五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M(3,/4)的所有极坐标[1]极径是正的时候:423k,[2]极径用“-3”)423k,(五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况OXPMOXMP[1]首先,给定极坐标M(,)在平面上可以确定唯一的一点。[2]反过来,给定平面上一点,却有无数个极坐标。原因:极径有正有负;极角有无数个。但是,有统一表达式两个。如果限定ρ≥0,0≤θ<2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.[3]一点的极坐标有否统一的表达式?小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素?极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式?无数,极角有无数个。有。(ρ,2kπ+θ)极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点的直角坐标是(1,)3这个点如何用极坐标表示?Oxy在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位点M的直角坐标为(1,3)θ(1,3)M设点M的极坐标为(ρ,θ)23122)(313tanM(2,∏/3)极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ)0(tan,222xxyyx互化公式的三个前提条件:1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.例1.将点M的极坐标化成直角坐标.2(5,)3解:2532cos5x23532sin5y所以,点M的直角坐标为)235,25(已知下列点的极坐标,求它们的直角坐标。)6,3(A)2,2(B)2,1(C)4,23(D)43,2(E例2.将点M的直角坐标化成极坐标.(3,1)解:21)3(22)(3331tan因为点在第三象限,所以67因此,点M的极坐标为)67,2(练习:已知点的直角坐标,求它们的极坐标.)3,3(A)3,1(B)0,5(C)2,0(D)3,3(E例3已知两点(2,),(3,)求两点间的距离.π3π2oxAB解:∠AOB=π6用余弦定理求AB的长即可.极坐标下两点间距离公式A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2)|AB|=?极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ)0(tan,222xxyyx9页