酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结

酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙201131402摘要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。在数学的很多分支和工程实际应用中,都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造.本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵.酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵,有很多良好的性质,在矩阵理论中具有举足轻重的作用。本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。关键词:酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。ThestudyofUnitarymatrixandHermitematrixWeiLong201131402AbstractWiththedevelopmentofscienceandsociety,peoplegetadeeperunderstandingofmath,andtheuseofmathbecomesmoreandmorewidely.Inmanybranchesofmathematicsandengineeringapplications,arerelatedtosomespecialnatureandstructurematrix.Thispaperdiscussesaspecialkindofmatrix-unitarymatrixandHermitematrix.Thetwokindsofmatrixastwospecialskindofmatrix,therearemanygoodproperties.Inthematrixtheoryplaysanimportantroleinthestudyofthistopiccouldbemoreperfectmatrixtheory.Inthispaper,weusetheknowledgeoftheunitarymatrixandOrthogonalmatrix,thenatureoftheunitarymatrix,theconstructionoftheunitarymatrixtogetafirstimpressionoftheunitarymatrix,andmakeabasementtofartherstudy.AndwestudytheHermitematrixbytheknowledgeofthenatureofHermitematrix，determinedtheorem，positivedefinitematrixandtheHermitematrixinequality.Keywords:unitarymatrix；Hermitematrix；Orthogonalmatrix;Characteristicvalue第一章酉矩阵第一节酉矩阵的概念及等价条件1.1.1正交矩阵和酉矩阵定义1.1.1满足EAAAA**的n阶实矩阵A称为正交矩阵.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2若n阶复方阵U满足HUUE则称U为酉矩阵.定义1.1.3若n阶复方阵U满足HUUE则称U为酉矩阵.定义1.1.4若n阶复方阵U满足1HUU则称U为酉矩阵.注:HU表示矩阵U的共轭转置，即HU=-U.定义1.1.5若n阶复方阵U的n个行(列)向量是两两正交的单位向量,则称U为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的.从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知,酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得,n阶酉矩阵U的n个行(列)向量构成nC的标准正交基.引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4]对任意的n阶矩阵A有EAAA*.引理1.1.3[5]对任意的n阶矩阵A和n阶可逆矩阵P,有)()(1ATrPAPTr引理1.1.4[6]对任意的nm阶矩阵A和mn阶矩阵B,有)()(BATrABTr引理1.1.5[6]n阶矩阵A为酉矩阵的充分必要条件是：'=AAI或者'AAE定理1.1.1阵)(ijaA为酉矩阵的充分必要条件是.,,2,1,njaAAAij这里A表示行列A的模,表示ija的共轭复数.定理1.1.2二阶矩阵A为酉矩阵的充分必要条件是A为下列三种形式之一:(i)2211sincos00sincosiaia(ii)0sincossincos02211ii(iii))sin(cos)sin(cos1)sin(cos1)sin(cos4433222211iriririr这里123401,2rk且,k为整数.定理1.1.3n阶矩阵A为酉矩阵的充要条件是:对任意n阶矩阵B,有:)()(BTrAABTr第二节酉矩阵的性质1.2.1运算性质1.2.1酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1设U为酉矩阵，则-1UUU，和都是酉矩阵.证明因为HHUU=UU=UU=E=E（）（）（）所以U是酉矩阵.因为HHHUU=UU=UU=E=E（）（）（）（）（）所以U是酉矩阵.因为-1H-1HHHHUU=UU=UU=E（）（）（）（）所以-1U是酉矩阵.定理1.2.2设U为酉矩阵,则U的伴随矩阵*U也是酉矩阵.证明因为,*-1U=detUgU2*H*-1H-1H-1(U)U=detUUdetUU=detUUU=E（）（）（），所以*U为酉矩阵.定理1.2.3设1U和2U是酉矩阵，则12UU,21UU也是酉矩阵.证明因为1212()()HUUUU1212HHUUUU22HUEUE所以12UU是酉矩阵,同理可证，21UU也是酉矩阵.推论1.2.1设U是酉矩阵，则kU（k为正整数）是酉矩阵.推论1.2.2设1U，2U是酉矩阵，则12UU，21UU；21'UU，12'UU；112UU，112UU；1121UUU，1212UUU也是酉矩阵.推论1.2.3设1U，2U是酉矩阵，则*12UU，*21UU也是酉矩阵.推论1.2.4设1U，2U是酉矩阵，则k12UU，k21UU，km12UU（k,m为正整数）也是酉矩阵.定理1.2.4设1U，2U是酉矩阵，若1212UU+E是反Hermite矩阵,则12UU也是酉矩阵,因此1111212---U+U=U+U（）证明因为12121221HHHU+UU+U=E+UU+UU+E（）（）（）12211122HH=E+UU+E+UU+E（）（）E=因此，当1212UU+E是是反Hermite矩阵时,1212HU+UU+U=E（）（），记12U+U也是酉矩阵，从而-112U+U（）1212HHH=U+U=U+U（）-1-112=U+U注:定理2.4表明,酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2酉矩阵的行列式定理1.2.5设U是酉矩阵，则其行列式的模等于1，即det1U，其中detU表示U的行列式.证明由EHUU得)(1UUdetdetEHdetUdetUHgdetUUdetgdetUdetU2detU从而1detU=.定理1.2.6设1U,2U是酉矩阵，则12U00U,121111UU-UU也是酉矩阵.证明因为HH11H22U0U0=0U0U-1-111-122U0U0=0U0U所以12U00U是酉矩阵.因为H112211111111UUUU-UU-UU1122HHH1111HHH1111U-U2UU0UU02UUH11H11E0UU0==0E0UU所以121111UU-UU是酉矩阵.定理1.2.7设U是酉矩阵,则对U的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换,所得矩阵仍为酉矩阵.证明设,1ijnUuuuu（，，，，，）其中,1ijnuuuu，，，，，是U的两两正交单位向量.显然,1ijnuuuu，，，，，(1)以及,1ijnuuuu，，，，，也都是U的两两正交的单位向量.由定义1.1.5知结论成立.1.2.3酉矩阵的特征值与对角化定理1.2.8设U是酉矩阵,则U的特征值的模为1,即分布在复平面的单位圆上.证明设Ux=x,x0,则由,HHHHUUExUx可得HxHHHxxxUUxx于是0Hxx（1-）而0Hxx,故1即1定理1.2.9设U为酉矩阵,是U的特征值,则1是HU的特征值,而1是U的特征值.证明设是U的特征值,则由定理1.2.1知0于是-1HU=U的特征值,而又可知是U的特征值,但U与HU=U的特征值全部相同,因此是HU的特征值,所以1是H-1U=U（）的特征值.定理1.2.10设U是酉矩阵,则属于U的不同特征值的特征向量正交.证明设是U的属于特征值的特征向量,是U的属于特征值的特征向量,由,,HUUUU=E可得=()()=()()=HHHHHHUUUU所以(1)0H而从而21故0H,即与正交.定理1.2.11设U是酉矩阵,且为Hermite矩阵,则U必为对合矩阵()2U=E,从而U的特征值等于1或-1.证明由EUUUUHH),(得2U=E又因Hermite矩阵的特征值为实数,所以根据定理1.2.8得,U的特征值等于-1或1.引理2.1设是nAM(R),则A为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵U,使=(,,)HUAUdiag,其中()ii=1,n，的模为1.引理1.2.2[9]设nAM(R),则A为正交矩阵的充要条件是A有n个两两正交的单位特征向量nAC,且特征值的模为1.定理1.2.12任一个n阶酉矩阵U一定正交相似于分块对角矩阵1111cossincossin,,,1,1,,1,1sincossincoskkkkDdiag，，其中0K,cossinjjji,cos-sinjjji,cos-sin;1,.jjjijk，是U的所有不同的复特征值.证明U的所有特征值全为1,由引理1.2.1和引理1.2.2知U一定正交相似于对角矩阵diag(1,,1-1,,-1)，若U有复特征值111cos+isin则111cos-isin也是U的特征值.因此可设有k2复特征值.jjjcos+isin,jjjcos-isin,1,.jjjcos-isinj=,k设ja是属于j的单位特征向量,则ja属于的单位特征向量.根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交.于是12k12k,,,,,,互不相同,,12k12ka,a,a,a,a,,a两两正交,令111(),(),12.22jjjjja+ara-aj=,ki易知j与jr为相互正交的实向量.设2k+12k2na,a,,a为U的属于特征值1的相互正交的单位实特征向量,则1122kk2k+12k2n=(,r,,r,,,r,a,a,,a)U为一个酉矩阵.因为11=(+)2jjUUaa11=(+)(22jjjjjjcosisinacosisin)ajjjjjjjjja+aaacossincosrsin22i