7-平面几何与立体几何

7平面几何与立体几何7.1内容概述几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。平面几何与立体几何是最基本的几何学，中学数学对它们的总的教学安排是：初中学习平面几何，高中学习立体几何。几何学历来是中学数学课程改革的重点与难点。当前课程标准对这部分内容作了较大的调整和变化。平面几何内容在义务教育阶段课程标准中称为“空间与图形”。平面几何课程改革的主要方向是：强调几何内容的现实背景和应用价值；注重几何建模以及探究过程(包括合情推理)；强调发展几何直觉和空间观念；突出学科的文化价值，着力培养理性精神。初中阶段的空间与图形在内容安排上既不以欧氏几何公理体系为主线，甚至也不严格按照知识的逻辑顺序展开，而是以图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明为线索，并对内容呈现顺序也不作任何规定。空间与图形的重点是丰富对空间图形的认识和感受，不再从整体上维持平面几何的演绎体系。也许正是由于这样的原因，初中几何课程的设计方案引起了很大争议。另外，图形的认识新增了视图与投影(包括立体展开图)等内容,试图通过平面图形与立体图形的联系和转换，进一步发展空间观念。图形的认识还包括尺规作图的内容：4个基本作图以及利用基本作图来作三角形和圆，但明确规定对证明不作要求。图形的认识要在小学学习的基础上，进一步加深对基本图形的认识，这里的基本图形的主要包括：点、线、面，角，相交线与平行线，三角形，四边形，圆，同时还要探索这些基本图形的基本性质及其相互关系。图形与变换的内容主要包括：图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转、图形的相似(包括位似)，其中大部分内容是新增加的。图形与变换并不要求从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质和图形的性质，而只要求通过实例认识变换，借助图形的直观探索图形变换的基本性质以及一些基本图形(如等腰三角形、圆等)的性质，并能利用图形变换设计、欣赏图案，让学生真切体验到图形变换的乐趣和价值。图形与坐标严格说来属于平面解析几何的内容。这部分内容主要介绍坐标法思想和平面直角坐标系，并以此为工具确定点的位置，并探索图形变换与点的坐标变化之间的关系。安排这部分内容的主要目的是为后续函数的学习提供基础，教学应注意体现数形结合的思想。图形与证明注重在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中发展合情推理，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明：一方面减少了几何定理的数量，要求用4条基本事实证明有关三角形和四边形的一些基本性质(共8类约40条左右)；另一方面降低了几何证明的形式化要求和习题的难度，淡化几何证明的技巧。同时还要求通过对欧几里得《原本》的介绍，使学生感受到几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。图形与证明力图通过适量的、难度适宜的几何证明训练，使学生既能掌握证明的基本格式，学会证明的基本方法(包括反证法)，又能体会证明的必要性，理解证明的基本过程，初步感受公理化思想，从而协调地发展推理能力。三维空间是人类生存的现实空间。认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段立体几何课程的基本要求。立体几何初步包括两部分：空间几何体，点、线面之间的位置关系。学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。高中立体几何由两个部分组成：立体几何初步(必修)和空间向量与立体几何(选修)。立体几何初步大部分内容与以往课程相同(值得注意的是，新课程删除了对距离和角度度量的要求)。但对于这些相同内容，新课程处理上却有很大不同。新课程弱化了对证明的要求。立体几何初步共有四条公理、九条定理，删除了三垂线定理等传统内容。教学中要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；而对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，论证则留待在选修系列2-1中统一用向量方法来完成。以往安排是从局部到整体，先介绍点、线、面，再讲授几何体。新课程则是从整体到局部、先展示大量的几何体(柱、锥、台、球)，在学生感性认识的基础上，再深入研究构成几何体的元素——点、线、面。总之，立体几何初步调整的目的是力图避免以往重视几何内在逻辑要求、以论证为主线所造成的教学过于形式化的面貌，更加强调几何与现实的联系，强调几何直观能力和空间想象能力的培养。除了调整传统内容，立体几何初步为达到上述目的还专门增加了平行投影与中心投影，几何体及其三视图、直观图之间的相互转化等内容，要求学生巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。立体几何初步教学的一个基本策略是与平面几何进行类比。平面几何的很多概念和结论可以推广到空间。例如，在平面几何中两条直线相交于一点，立体几何中两个平面相交于一条直线；又如，平行线的传递性，不仅在平面上是正确的，在空间也是成立的，而且还可以推广为平行平面的传递性．但要注意把平面结论推广到空间，有些性质是相同的，有些是类似的，有些则是完全不同的。例如，在平面几何中“垂直于同一条直线的两条直线必平行”，这个结论在立体几何中不成立。空间向量与立体几何的主要内容是以空间向量为工具处理立体图形中的位置关系问题与度量问题。在这个模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，在理解直线的方向向量与平面的法向量的基础上，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题以及线线、线面、面面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。高中立体几何的教学应鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合法，从不同角度解决立体几何问题。总的说来，平面几何是立体几何的基础，立体几何是的平面几何延续。两者之间的内在联系主要表现在两个方面：◎立体几何中的概念基本上是由平面几何的概念发展而来的，平面的很多结论也可以推广到空间。在平面几何中两条直线相交于一点，立体几何中两个平面相交于一条直线；平行线的传递性，不仅在平面上是正确的，在空间也是成立的，而且还可以推广为平行平面的传递性。因此，立体几何的学习要特别强调类比的思想，要把类比作为整理知识、获得猜想(包括概念)的基本手段。当然也要注意空间与平面，有些性质是相同的，有些是类似的，有些则是完全不同的。垂直于同一条直线的两条直线必平行，在平面几何中成立，在立体几何中不成立。◎立体几何问题往往要转化为平面几何问题来解决，化归思想方法是求解立体问题的一把钥匙。二面角用其平面角来度量；计算线长、角度可将有关数量关系集中到某个(直角)三角形中求；曲面展开成平面。1、如何辩证看待平面几何课程的改革？中学平面几何传统上属于欧氏几何学的范畴，它主要以最常见的规则图形——直线、角、直线形、相似形、圆等为对象，研究其基本的形状、大小和位置关系，并较多侧重定性分析，而较少涉及定量处理。研究方法采用综合法，也称为综合几何。综合法是一种图形直观分析和逻辑论证相结合的方法。即，在对图形观察分析基础上，对其结论加以逻辑推理和论证。传统中学平面几何主要以欧几里得公理体系为基础，是把公理和直观相结合建立起来的几何演绎体系。为保证论证严密性，证明时主要借助逻辑方法，而尽量避免依赖直观图形。7.2问题研究从世界范围看，欧氏几何的教学已呈现衰退趋势。原因有三：◎中学数学受大学数学的影响。分析和代数在大学占主要地位，而几何课很少。◎统计等课程在企业和商业的用处越来越广泛。要适合中学生就业需要，就得多教些统计，这挤掉了几何课程。◎计算机科学的新要求。计算机只懂代数不懂几何更促使几何的代数化。我国历来有重视平面几何教学的传统，积累了许多成功的经验。几何学习成为许多优秀学生思维培养和兴趣发展的“助推器”。(优秀学生喜欢几何，几何满分比代数满分多)但传统的平面几何教学又具有双刃剑功能：几何内容的过分抽象和形式化，缺少与现实生活的紧密联系，使几何直观的优势没有得到充分的发挥；几何教学过分强调演绎推理和形式化，使不少学生怕学几何，甚至厌恶几何、远离几何，从而丧失学习数学的兴趣和信心。国家新一轮课程改革启动后，课程标准对平面几何课程进行了重大调整。调整的主要内容包括：◎几何课程不再从整体上维持平面几何的演绎体系，重点是丰富学生对空间图形的认识和感受。◎强调几何内容贴近日常生活实际，欣赏并体验几何在现实生活中的广泛应用。◎注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。◎注重经历观察、操作、推理想象等探索过程，广泛使用“量一量、做一做”等操作性活动。如何看待这些变化？关键是正确处理好几组关系：◎理性精神与理性思维。只证定理做题目，学会了证明方法并不一定意味着体会到了证明的思想，真正理解了证明的意义和必要性，更不能说明已形成了证明的意识和理性精神。培养几何推理能力需要做推理，光讲什么是推理，什么是证明，学生是学不会的。◎有用与实用。平面几何学的重要价值不仅在命题本身，更在于它如何确定一个结论的真理性。几何学是人类不凭直观和实验，运用逻辑证明真理的典范。几何学很多问题是理性思维的问题，并不和生活有多大的联系。几何对许多学生来说的确很难，应当减轻他们的负担。但“在一个只包含‘有用’成分的学习课程里，无法唤起个人的积极进取精神。”(R.Tome)◎公理法与代数法。目前教学改革中争论较大的间题是：用综合法研究基本图形是否有意义？能否用解析几何等代数方法来研究相应的内容？“欧几里得几何是以落后于时代的方法和思维方式所堆砌的一堆遗物。”(J.Dieudonne)代数法研究几何在以下几方面的培养都是有欠缺的：几何直觉；空间想象能力或空间观念；逻辑思维能力(演绎法)。综合法是研究几何的基本方法，也是其他研究方法的基础。◎实验、直觉与证明。把证明改成说理，不能量一量就算得到真理。老是量，就倒退到尼罗河时代去了。几何图形的直观能化抽象为具体，往往是启发抽象思维的有力工具；但图形无论画得如何准确，也无法代替逻辑思维．而且，直观不一定可靠，还往往和实际情况不符，甚至相反．并且复杂的问题，直观就无能为力了。也就是说，直观和实验对获得感性认识起重要作用，而证明命题则主要靠逻辑推理，两者应协调发展。两点建议：◎对所有未来公民实行的几何教育，主要是了解、体会理性思维的价值，掌握一般证明方法，提高思维水平，学会综合运用几何、代数、三角等多种方法。但对其中部分优秀学生，应更加系统和深入学习平面几何，应对公理化思想有更深的体会，对难题证明豁然开朗的“美妙体验”具有真实的感受。因此，不同的人学习不同的几何，设置平面几何选修课是一个不错的选择。◎几何内容可以适当减少，但是无论如何，在整体上应该保留一个演绎体系，并注重阐发理性思维的伟大精神价值。结论可以由直观和实验方法进行猜想，但最终必须经过证明。证明可以用图形变换语言进行说理，也可以用三段论的逻辑方法。推理的严密程度随年龄而增加。2、如何理解欧氏几何公理体系的独特价值？数学是人类文明的核心部分，中学数学教育应担负起理性文明、科学启蒙的使命。理性的培养需要载体，几何是最好载体。几何对理性思维的价值集中体现在它采用公理化的演绎体系。有人认为，中学学习公理化思想、培养演绎推理能力未必一定需要通过几何教学来实现。其他学科同样能促进学生学会合乎逻辑的思考、形成严谨求实的科学态度。其实不然，几何公理体系在诸多方面有着独特的优势和价值。◎强烈的美感和震撼力。欧氏几何以熟知的现实空间为研究对象，研究它当然也可采用观察、测量等实验方式。几何公理体系的辉煌之处就在于，这样足够丰富的几何世界居然是可以以几条简单的公理为基础通过演绎推理获得的，这深刻地反映了逻辑的力量，能够极大地唤醒人们崇尚理性的信念。事实上，很多科学伟人正是由此走上科学的道路。◎深厚的文化价值。欧氏几何公理体系的问世，在数学的发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学乃至人类文明的发展起了巨大的推动作用。对几何公理体系的研究直接导致非欧几何的