光的吸收与辐射的半经典理论

11.5光的吸收与辐射的半经典理论在光的照射下,原子可能吸收光而从低能级跃迁到高能级,或从较高能级跃迁到低能级并放出光.这现象分别称为光的吸收和受激辐射.实验上还观察到,如果原子本来处于激发能级,即使没有外界光的照射,也可能跃迁到某些较低能级而放出光来,这称为自发辐射.对于光的吸收和受激辐射现象,可以在非相对论量子力学的框架中采用半经典方法来处理.在这里,原子是作为一个量子力学体系来对待,但辐射场仍用一个连续变化的经典电磁场来描述,并未进行量子化,即把光辐射场当作一个与时间有关的外界微扰.用微扰论来近似计算原子的跃迁速率.但对于自发辐射,这个办法就无能为力了.11.5.1光的吸收和受激辐射为简单起见,先假设如射光为平面单色光,其电磁强度为0cos(){tEEkrBkEk(1)在原子中,电子的速度,磁场对电子的作用远小于电场作用.因此只需考虑电场的作用.此外,对于可见光波长远大于玻尔半径,在原子大小范围中,电场变化极微,可以看成均匀电场,即cvtEEcos0(3)它相应的电势为ErC(2)常数项对于跃迁无贡献,不妨略去.因此,入射可见光对于原子中电子的作用可表示为0HcoscoseDEtWt(4)其中0,WDEDer把代入跃迁振幅的一级微扰公式(11.1节,式(31))Hii(1)ii00i()i()1ede(ee)di2ie1e1[]2kkkkkkkkttttttkkkkkkttkkkkkkWCHttW(5)对于可见光,很大.对于原子的光跃迁,也很大.kk(5)式中的两项,只当时,才有显著的贡献.为确切起见,下面讨论原子吸收光的跃迁,,此时,只当入射光的情况下,才会引起的跃迁.此时kkkkEE)(kkkkEEkkEEi()(1)e1()2kktkkkkkkWCt(6)因此从的跃迁概率)(kkk22222)1(]2)([]2)[(sin4)()(kkkkkkkkkktWtCtP(7)当时间t充分长以后,只有的入射光才对的跃迁有明显贡献.此时kkkkEE22()(()2)4kkkkkktPtW(8)而跃迁速率为2202222202d()()d22cos()2kkkkkkkkkkkkkkkkwPWDEtDE(9)其中是与的夹角.如入射光为非偏振光,光偏振()的方向是完全无规则的,因此把换为它对空间各方向的平均值,即kkD0E0E2cos22220011cosdcosdsincosd1344所以2202()6kkkkkkwDE(10)这里是角频率为的单色光的电场强度值.以上讨论的是理想的单色光.自然界中不存在严格的单色光.对于这种自然光的跃迁,要对式(10)中各种频率的成分的贡献求和.令表示角频率为的电磁辐射场的能量密度.利用0E)(22222200011()()84()11dcos()48TEBEEttET(11)可把式(10)中换为就得出非偏振自然光引起的跃迁速率.20Ed8(),222222244()r()33kkkkkkkkkkewD(12)可以看出,跃迁快慢与入射光中角频率为的光强度成比例.如入射光中没有这种频率成分,则不能引起两能级之间的跃迁.跃迁速率还与成比例,这就涉及初态与末态的性质.设kk)(kkkkEE2kkr原子初态lnlmk)(,宇称原子末态lmlnk)(,宇称(13)考虑到为奇宇称算符,只当宇称时,才不可能为零.由此得出电偶极辐射的宇称选择定则宇称,改变.其次考虑角动量的选择定则.再根据球谐函数的正交性,可以看出,只当时才可能不为0.此即电偶极辐射的角动量选择定则rkkr1,,1mmmllkkr(14)1,0Δ,1Δmmmlll(15)计及电子自旋及自旋-轨道耦合作用后,电子的状态应该用好量子数来描述.可以证明,电偶极辐射的选择定则为宇称,改变jnljm1,0Δ;1,0Δ1Δjmjl(16)11.5.2自发辐射的Einstein理论前已提及,原子自发辐射现象,在非相对论力学框架内是无法解释的.因为按照量子力学一般原理,如无界作用,原子的Hamilton量是守恒量,如果初始时刻原子处于某定态,则原子将保持在该定态,不会跃迁到低能级去.Einstein(1917)曾经提出一个很巧妙的半惟象理论来说明原子自发辐射与吸收和受激辐射之间的关系.按前面讨论,在强度为的辐射的照射下,原子从态到态的跃迁速率为(设))(kkkkEE)(kkkkkkBw(17)其中22224r3kkkkeB(18)称为吸收系数.与此类似,对于从态的受激辐射,跃迁速率为kk)(kkkkkkBw(19)其中22224r3kkkkeB(20)称为受激辐射系数.由于为厄米算符,所以rkkkkBB即受激辐射系数等于吸收系数.它们都与入射强度无关.设处于平衡态下的体系的绝对温度为T,和分别为处于能级和上的原子数目.按Boltzmann分布律knknkEkE()eeEEkkkkkTkTkknn(22)式中k为Boltzmann常数.显然,对于,粒子数(正常情况下,),因此kkEEkknnkknn)()(kkkkkkkkkkBnBn(23)因此,如只有受激辐射,就无法与吸收过程达到平衡.出自平衡的要求,必须引进自发辐射,即在式(23)右边再加上一项,使体系能达到热平衡()[()]kkkkkkkkkkkknBnBA(24)kkA称为自发辐射系数.它表示在没有外界光的照射之下,单位时间内原子从态态的跃迁概率kk)(kkEE式(24)左边是单位时间内从到跃迁的原子数目,右边则是单位时间内从跃迁的原子数目.kEkEkkEE利用式(21)、（22）与(24),得11()11kkkkkkkkkTkkkkkkTkkkkkkAABnnBeAkTB(25)在高温极高情况下,有大量原子处于激发能级,物体可以吸收和发射各种频率的辐射,接近于完全黑体,此时(),可以用Rayleigh-Jeans公式来描述与黑体达到平衡的辐射场的强度分布,即kkkT223()kTc(26)323kkkkkkABc比较式(25)与(26),得(27)再利用式(20),就求出了自发辐射系数23234r3kkkkkkeAc(28)自发辐射的选择定则,与受激辐射和吸收完全相同.