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第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.空间几何体、多面体的概念(1)空间几何体如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.(2)多面体一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.【思考】多面体怎样分类？提示：(1)按多面体是否在任一面的同侧关系分，可分为凸多面体(把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧)和凹多面体.我们所研究的多面体若不特别说明，都是指凸多面体.(2)多面体按围成它的面的个数分，可分为四面体、五面体、六面体…2.棱柱(1)棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.(2)棱柱的图形表示：(3)棱柱的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四棱柱ABCD-A′B′C′D′.【思考】棱柱具有哪些重要的特征？提示：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形.(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形.3.棱锥(1)棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.(2)棱锥的图形表示：(3)棱锥的表示方法：如上图所示，该棱锥可表示为四棱锥S-ABCD.【思考】棱锥的结构特征中应注意什么？提示：对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形.4.棱台(1)棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.(2)棱台的图形表示：(3)棱台的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四棱台ABCD-A′B′C′D′.【思考】棱台具有哪些重要的特征？提示：棱台的上下底面必须平行，各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.()(3)正三棱锥也称为正四面体.()【解析】(1)√.棱柱的两个底面是全等的多边形，侧面是平行四边形.(2)×.其余各面都是有一个公共顶点的三角形.(3)×.正四面体是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体.2.下列关于棱柱的说法中正确的是()A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行【解析】选D.由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确.3.下面四个几何体中，是棱台的是()【解析】选C.由棱台的概念知侧棱延长应交于一点.4.面数最少的多面体有________个面.【解析】面数最少的多面体是四面体(三棱锥)，有4个面.答案：4类型一棱柱的结构特征【典例】1.下列说法中，正确的是()A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形2.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.【思维·引】根据棱柱的结构特征判断.【解析】1.选D.A.选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.2.(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.(2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.【内化·悟】怎样判断棱柱的底面？提示：棱柱的底面，不是看到直观图“位置”上的上下底面，而是平行且全等的那两个多边形.【类题·通】棱柱结构特征问题的解题策略1.有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.2.多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.【习练·破】1.下列几何体是棱柱的有()A.5个B.4个C.3个D.2个【解析】选D.棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.2.下列关于棱柱的说法错误的是()A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面【解析】选C.对于A，B，D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.类型二棱锥、棱台的结构特征【典例】1.下列三种叙述，正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是世纪金榜导学号()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台【思维·引】根据棱锥、棱台的结构特征判断.【解析】1.选A.①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.2.选B.剩余部分为四棱锥A′-B′BCC′.【内化·悟】棱台能不能由棱锥截得？提示：能.【类题·通】判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【习练·破】下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案：①②类型三多面体的表面展开图【典例】1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()2.如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？世纪金榜导学号【思维·引】1.正方体的平面展开图⇒以其中一个面不动把其他面展开.2.常见几何体的定义与结构特征⇒空间想象或动手制作平面展开图进行实践.【解析】1.选A.由选项验证可知选A.2.图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.【类题·通】多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.【习练·破】如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A.①③B.②④C.③④D.①②【解析】选C.可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.