极限的性质和运算法则

兰州外语职业学院教案专用纸专业：科目：《经济数学基础》第周第学时教案授课教师：贾其鑫291.4极限的性质与运算法则教学目标:1.掌握极限的性质及四则运算法则。2.会应用极限的性质及运算法则求解极限教学重点：极限的性质及四则运算法则；教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳教学课时：2学时教学方法：讲授法、归纳法、练习法教学过程：1.4.1极限的性质性质1.5（唯一性）若极限)(limxf存在，则极限值唯一．性质1.6（有界性）若极限)(lim0xfxx存在，则函数)(xf在0x的某个空心邻域内有界．性质1.7（保号性）若Axfxx)(lim0，且0A（或0A），则在0x的某空心领域内恒有0)(xf（或0)(xf）．若Axfxx)(lim0，且在0x的某空心邻域内恒有0)(xf（或0)(xf）,则0A（或0A）．1.4.2极限的四则运算法则定理1.3若Axu)(lim，Bxv)(lim，则(1))()(limxvxuBAxvxu)(lim)(lim；(2))(lim)(lim)()(limxvxuxvxuBA；兰州外语职业学院教案专用纸专业：科目：《经济数学基础》第周第学时教案授课教师：贾其鑫30(3)当0)(limBxv时，BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim证我们只证(1)．因为Axu)(lim，Bxv)(lim，由定理1.2有Axu)(，Bxv)(，其中α，β是同一极限过程的无穷小量，于是)()()()(BAxvxu)()(BA．根据无穷小量的性质，仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可得．BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim．上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况．推论设)(limxu存在，c为常数，n为正整数，则有(1))(lim)(limxucxuc；(2)nnxuxu)]([lim)(lim．在使用这些法则时，必须注意两点：(1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在．(2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零．例1求)522(lim1xxx．（初等函数定义域内某点的极限）解)522(lim1xxx（00()()limfxfxxx）5lim1)2(lim1)2(lim1xxxxx5lim1)2(lim1)2(lim1xxxxx兰州外语职业学院教案专用纸专业：科目：《经济数学基础》第周第学时教案授课教师：贾其鑫3185)1(2)1(2．例2求)1110(lim0naxnanxanxax．解)1110(lim0naxnanxanxaxxnaxxxnaxxnxaxxnxaxxlim01lim011lim00lim0nnnnaxaxaxa0110100．可见多项式)(xp当0xx时的极限值就是多项式)(xp在0x处的函数值，即)0()(lim0xpxpxx．（1.4.1）例3求21322lim0xxxx．解先求分母极限．因为0220)2(lim0xx，所以)2(lim0)1322(lim021322lim0xxxxxxxxx2120103022．一般地，当0)(lim0xqxx时，有)0()0()()(lim0xqxpxqxpxx．（1.4.2）例4求23234lim1xxxx．0c“型”兰州外语职业学院教案专用纸专业：科目：《经济数学基础》第周第学时教案授课教师：贾其鑫32解先求分母的极限．021321)232(lim1xxx,先考虑原来函数倒数的极限.0340)34(lim1)232(lim134232lim1xxxxxxxxx即34232xxx是1x时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到23234lim1xxxx．例5求92342lim3xxxx．00“型”解先求分母极限．0923)92(lim3xx,再求分子极限．033423)342(lim3xxx．消去公因子，再求极限．)3)(3()1)(3(lim392342lim3xxxxxxxxx3131lim3xxx注意：因为0)92(lim3xx，所以不能写成)92(lim3)342(lim392342lim3xxxxxxxxx．兰州外语职业学院教案专用纸专业：科目：《经济数学基础》第周第学时教案授课教师：贾其鑫33例6求222322limxxxxx．“型”解22212312lim222322limxxxxxxxxxx2)2221(lim)2312(limxxxxxx．例7求22353limxxxx．解因为035211323lim53223limxxxxxxxxx，所以22353limxxxx．一般地，当x时，有理分式)0,0(00ba的极限有以下结果：.,,,00,,0110110limmnmnbamnmbmxbmxbnanxanxax＝（1.4.3）例8求下列极限：（1）8323524limxxxx；（2）32572243limxxxx；（3）372)122)(3(limxxxx．兰州外语职业学院教案专用纸专业：科目：《经济数学基础》第周第学时教案授课教师：贾其鑫34解（1）因为mn，所以08323524limxxxx．（2）因为nm，所以32572243limxxxx．（3）因为n=m，所以极限值应为分子、分母最高次项系数之比．即72372)122)(3(limxxxx．方法归纳：1.初等函数定义域内某点处的极限值00()()limfxfxxx2.0c“型”：先求倒数的极限为0，再应用无穷小量和无穷大量的关系，得无穷大3.00“型”：A.分子分母为多项式的先分解因式约分再求极限4.“型”：A分子分母同除以分母的最高次幂课堂练习：P4612（2、4、6、8、10、12、14、16）课后作业：P4612（1、3、5、7、9、11、13、15）课后反思：