一致收敛的概念和判别法

高等微积分讲义7.1第7讲一致收敛的概念与判别法所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数，也就是说是无穷多个函数求和的问题，研究函数项级数主要回答下列几个问题：1.收敛区域，即对于函数项级数：()1nnax∞=∑，x在什么范围内级数是收敛的？这一问题是平凡的，因为对于给定x，由数项级数之收敛性即可判别级数的收敛性，从而确定x之收敛域。2.设()()1nnSxax∞==∑是收敛的，若()nax均为连续函数，问()Sx是否连续？回答是不一定。例如：当1x时，()1nnaxx−=，则有()11Sxx=−，()nax在1x=处左连续，但()Sx在1x=处不是左连续的。问题还可以提为：什么时候()Sx连续？3.可导性能否保持？即：若()nax均为可导函数，问()Sx是否可导？同样有问题：什么时候可导性可以保持？特别地，如果均可导，()Sx的导数与()nax的导数有何关系？4.可积性问题。即：若()nax均为可积函数，问()Sx是否可积？何时可积？它们的积分有何关系？为了研究上述几个问题，我们需要引进“一致收敛”的概念。一致收敛的概念与判别法7.2§1一致收敛的概念讨论级数的收敛性实质上是其部分和函数()nSx的性质，因此我们先考虑极限过程()()limnnSxSx→∞=的性质。上面所说的关于和函数的连续性，可导性、可积性有一个共同的特点，就是某一点x处的连续性与可导性均与函数在该点邻域的性质有关，而不仅仅只与该点函数值相关，而可积性则更是函数在某一区间内的性质了。另一方面，函数序列()nfx在0xx=处是否收敛实际上只是数列()0nfx的性质，与0x点邻域内的性质是不相干的，因此从这一角度看，我们知道收敛性是无法用来描述其极限函数之性质的，因而有必要引入新的概念来区分不同的收敛性，以刻画函数序列的极限函数的性质。先来看极限之性质。我们知道收敛过程()()nfxfx→按照定义是：0ε∀，(),0Nxε∃，当nN时，有()()nfxfxε−上述表述中，对于不同的x值，所找到的N是不同的。那么对于所有的x是否可以找到同一个N来呢？下面的定义就是从这一点出发的：定义1：设有函数列(){}nfx在集合X上定义，若：0ε∀，()0Nε∃，当nN时，x∀∈X，有()()nfxfxε−，则称()nfx在X上一致收敛于()fx，记作：()()nfxfx⎯⎯→X。例1.讨论函数列()221nxfxnx=+在(),x∈−∞∞上的一致收敛性。解：显然()()0nfxfx→=由于：()()22222111122nxnxfxfxnxnxnn−==≤++，所以：0ε∀，12Nε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，nN时，(),x∀∈−∞∞，均有：()()nfxfxε−，即：()(),0nfx−∞∞⎯⎯⎯→。一致收敛的函数有如下之等价定义：定理1：()()nfxfx⎯⎯→X⇔()()limsup0nnxfxfx→∞∈−=X。证明：“⇒”由于()()nfxfx⎯⎯→X，按照定义，0ε∀，()0Nε∃，当nN时，x∀∈X，有()()nfxfxε−，所以：()()()()supnnxfxfxfxfxε∈−=−≤X，高等微积分讲义7.3即：()()lim0nnfxfx→∞−=。“⇐”由于：()()lim0nnfxfx→∞−=，按照极限定义，0ε∀，0N∃，当nN时，有()()nfxfxε−，所以，x∀∈X，有()()()()supnnxfxfxfxfxε∈−≤−X，即：()()nfxfx⎯⎯→X。证毕例2.讨论级数11nnx∞−=∑在()1,1−上的一致收敛性。解：容易计算出：()11Sxx=−，考虑：()()()111,11,1111supsup11nnnkkkkxxSxxxx−−−−==−=−=−−∑∑，当11xn=−时，111nnxnxn⎛⎞=−→+∞⎜⎟−⎝⎠，所以：()1,1sup1nxx−=+∞−，即：级数不一致收敛。例3.讨论函数列()221nnxfxnx=+在()0,1上的一致收敛性。解：容易计算出：()0fx=，即：()()nfxfx→。考虑：()()()()22220,10,1sup0sup11nnxnxfxfxnxnx−=−=++，当11xn=−时，111nnxnxn⎛⎞=−→+∞⎜⎟−⎝⎠，所以：()1,1sup1nxx−=+∞−，即：级数不一致收敛。例4.上述两个例子中，若改变讨论的区间，则函数列的一致收敛性会有变化。例2中，若令：[]0,c=X，1c，则有：()[]10,1sup011nnnkckxcxSxxc−=−==→−−∑（在[]0,c上函数1nxx−单调上升），所以，在[]0,c（()0,1c∀∈）上级数一致收敛到零。在例3中，若令：[],1c=X，()0,1c∈，则有：()()()22220,1sup011nnxncfxfxnxnc−==→++（n充分大以后，221nxnx+是对于x是单调下降的），所以()[],10cnfx⎯⎯→。一致收敛的概念与判别法7.4例4说明了有一类问题，在某一开间上不一致收敛的函数列（级数）在该开区间之任一闭子区间上均一致收敛，下面我们给这类问题之收敛性一个定义。定义2：若()nfx在(),ab的任一闭子区间上均一致收级到()fx，则称()nfx在(),ab上内闭一致收敛。附注：1.()nfx在(),ab上一致收敛，则()nfx在(),ab上收敛，反之不然；2.()nfx在(),ab上内闭一致收敛，则()nfx在(),ab上收敛。高等微积分讲义7.5§2一致收敛的判别法1收敛准则与级数的收敛性类似，对于一致收敛性，也有Cauchy收敛原理。Cauchy收敛原理（收敛准则）：()()nfxfx⎯⎯→X的充分必要条件是：0ε∀，()0Nε∃，当,mnN时，x∀∈X，有()()mnfxfxε−。上述收敛原理显然是从数列极限收敛之Cauchy收敛原理而来的。对应于无穷级数，也有下面的收敛原理：()()1nnaxSx∞=⎯⎯→∑X的充分必要条件是：0ε∀，()0Nε∃，当nN时，x∀∈X，p∀∈N，有()()1nnpaxaxε++++。收敛原理的证明这里就不再叙述了。应用收敛原理讨论问题的好处是可以不必事先知道和函数（极限函数）的具体表达式。2一致收敛的判别法判别一个级数或函数列是否一致收敛，直接应用上述定义及收敛原理对于一些具体的级数或函数列比较适用。但我们经常会遇上一些无法求出和函数具体形式的级数或函数列的一致收敛性，下面我们就来介绍几种判别法。定理2：（Weierstrass（控制）判别法）若N′∃，当nN′时，nM∃，使得：()nnaxM≤，对x∀∈X成立，并且级数1nnM∞=∑收敛，则：()1nnax∞=∑在X上一致收敛。证明：由条件，1nnM∞=∑收敛，按照Cauchy收敛原理，有：0ε∀，()NNε′∃，当nN时，p∀∈N，有1nnpMMε++++，因而x∀∈X，有：()()()()111nnpnnpnnpaxaxaxaxMMε++++++++≤++≤++因而由一致收敛级数之Cauchy收敛原理，()1nnax∞=∑在X上一致收敛。证毕一致收敛的概念与判别法7.6附注：1.级数1nnM∞=∑也称作()1nnax∞=∑之优级数；2若()1nnax∞=∑在X上一致性收敛，则()1nnax∞=∑也在X上一致收敛（“绝对”一致收敛）。例5.若1nna∞=∑是绝对收敛之数项级数，则级数1cosnnanx∞=∑，1sinnnanx∞=∑在(),−∞+∞上均绝对一致收敛。解：结论显然成立。例6.讨论级数21nxnxe∞−=∑在[)0,+∞上的一致收敛性。解：令()2nxnaxxe−=，则()()22nxnaxxnxe−′=−由()0nax′=可得：0x=或2xn=；容易看出，2224naenn−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠是()nax的最大值，因而[)0,x∀∈+∞，有：()2240naxen−≤≤；另一方面，级数2214nne∞=∑收敛，因此由Weierstrass判别法得知：级数21nxnxe∞−=∑在[)0,+∞上一致收敛。Weierstrass判别法一般只适用于绝对一致收敛之级数，对于一致收敛但非绝对一致收敛（“条件”一致收敛）之级数，我们则有下列两种判别方法。先讲一个定义：定义3：（一致有界）若()nfx满足：0M∃，x∀∈X，n∀∈N时，有()nfxM≤，称()nfx在X上一致有界。有了一致有界的定义，我们就来讨论两个函数乘积级数的一致收敛性：定理3：（Dirichlet判别法）考虑级数：()()1nnnaxbx∞=∑，x∈X，若：1)()1nnbx∞=∑在X上是一致有界的；2)函数列(){}nax对于给定的x∈X是n的单调数列，并且：()0nax⎯⎯→X；则级数()()1nnnaxbx∞=∑在X上一致收敛。证明：由于n∀∈Nx∀∈X，有()1nkkbxM=≤∑高等微积分讲义7.7所以：()()()1112npnpnkkkknkkbxbxbxM++=+===−≤∑∑∑，x∀∈X，由Abel引理：()()()()1122npkknnpknaxbxMaxax+++=+⎡⎤≤+⎣⎦∑，x∀∈X，又因为：()0nax⎯⎯→X，即：0ε∀，()0Nε∃，当nN时，x∀∈X，有：()6naxMε，所以：p∀∈N，有：()()12266npkkknaxbxMMMεεε+=+⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑，即：()()1nnnaxbx∞=∑在X上一致收敛。证毕例7.()111nnnxn∞−=−∑在[]0,1上一致收敛。证明：令()nnxaxn=，()()11nnbx−=−，则：()11nkkbx=≤∑一致有界。[]0,1x∀∈，()()111nnaxnxaxn+=+，所以()nax单调下降；又：()0nax→，并且：()100naxn−=→，所以：()[]0,10nax⎯⎯⎯→，因而由Dirichlet判别法，()()()111nnnnnnaxbxxn∞∞==−=∑∑在[]0,1上一致收敛。定理4：（Abel判别法）考虑级数：()()1nnnaxbx∞=∑，x∀∈X若：1)()1nnbx∞=∑在X上一致收敛；2)()nax对于x∈X是单调序列，且在X上一致有界；则级数()()1nnnaxbx∞=∑在X上一致收敛。证明：由于()1nnbx∞=∑在X上一致收敛，0ε∀，()0Nε∃，当nN时，x∀∈X，p∀∈N，有()1npkknbxε+=+∑，由Abel引理（设()naxM≤）一致收敛的概念与判别法7.8()()()()1123npkknnpknaxbxaxaxMεε+++=+⎡⎤+≤⎣⎦∑所以：()()1nnnaxbx∞=∑在X上一致收敛。证毕例8.由Abel判别法，若级数1nna∞=∑收敛，则1nnnax∞=∑在[]0,1上一致收敛。高等微积分讲义7.9§3习题1.讨论下列函数序列在给定区域的一致收敛性：1)()221nfxxn=+，x−∞+∞；2)()2nnnfxxx=−，01x≤≤；3)()()1nnfxxx=−，01x≤≤；4)()lnnxxfxnn=，01x。2.讨论下列函数函数项级数在给定区域的一致收敛性：1)()11nnxx∞=−∑，01x≤≤；2)()()122111nnnxx−∞=−+∑，x−∞+∞；3)3441sinnnxnx∞=+∑，x−∞+∞；4)4211nxnx∞=+∑，x−∞+∞；5)1sinsinnnxxnx∞=+∑，02xπ≤≤；6)()()22111nnxnenx−∞=−−+∑，0x≤+∞。3.证明级数()1ln1nnnxnx∞=+∑在[),α+∞上（1α），为一致收敛的级数。4.设()0fx在[]0,a上连续，又令()()10xnnfxftdt−=∫，求证(){}nfx在[]0,a上一致收敛到零。5.求证若()1nnfx∞=∑在[],ab上一致收敛，则()1nnfx∞=∑在[],ab上也是一致收敛的，反之不然。