线性代数期中试卷及参考答案

统计学院《线性代数》期中试卷对外经济贸易大学2014─2015学年第二学期《线性代数》期中考试试卷参考答案课程代码及课序号：CMP104－4－51.设线性方程组12341234123412343236510103152xxxxxxxx1,3,,3,xxxxxxxaxb,ab问为何值时，(1)方程组有唯一解？说明理由；(2)方程组无解？说明理由；(3)方程组有无穷多个解？说明理由，并请用其导出组的基础解系表示其全部解。【解】对其方程组增广矩阵施以初等行变换，113211132113163011211510100010531152300013Abbaab，(1)当时，不论b取何值，1a()()4rArA，方程组有唯一解。(2)当时，1,3ab()34()rArA，方程组无解。(3)当时，1,3ab()3()4rArA，方程组有无穷多个解，此时10008010230010200000A，方程组一般解为12438,32,2,xxxx令40x，代入得其一特解为08320，其导出组为12430,2,0,xxxx令，代入得其一基础解系为41x0201，方程组的全部解为0,kk为任意常数。线性代数期中试卷参考答案20151/4统计学院《线性代数》期中试卷2.计算4阶行列式：111011101121111xxxx2。【解】利用归一法，将行列式的第2,3,4列都加到第1列，再使新第1列出现3个0：原式1110111011101110(1)1121112111121112xxxxxxxxxxx11100200(1)00310002xxxx2(1)(2)(3)xxx。【解法二】先利用降阶法：选择第1列，把其余3个元素化为0，再利用三角化法：原式2200(2)1001020(2)010(2)(3)003300111112111xxxxxxxxxx122210011010101(2)(3)(2)(3)01100111110111xxxxxx22100(2)(3)010(2)(3)(1111xxxxxb)2T。3.设矩阵满足矩阵方程300202,230131323ABX。BXAX，求【解】由题设，(2)TBEXA，因为3002001002230020210323002321BE，210BE，所以2BE可逆，于是1(2)TXBEA，可通过下述方法求矩阵1(2)TBEA：-1(2)((2)TT)BEAEBEA行，线性代数期中试卷参考答案20152/4统计学院《线性代数》期中试卷1002110021(2)21003010453212100106TBEA4，从而。121(2)4506TXBEAR中，设，1234111101-12,,,,2324351+8aa11254.在向量空间(1)为何值时，向量组a1234,,,线性无关？并在此时将向量用向量组1234,,,线性表示；(2)为何值时，向量组a1234,,,线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组，同时用该极大线性无关组表示其余向量。【解】对矩阵1234(,,,)施以初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，123411111111110112101121(,,,)23242001013518500010aaaa，(1)当时，1a1234{,,,}4rank，所以向量组1234,,,线性无关，继续对矩阵12(,,34,)施以初等行变换，将其化为简化行阶梯形矩阵，123410002(1)0100(1)(,,,)00101(1)00010aaaa，因矩阵的初等行变换不改变列向量间的线性相关性，所以123210111aaaa4。(2)当时，由(1)知矩阵1a1234(,,,)为线性代数期中试卷参考答案20153/4统计学院《线性代数》期中试卷123411110112(,,,)00000000，1234{,,,}2rank，从而向量组1234,,,2线性相关，因为矩阵的初等行变换不改变列向量间的线性相关性，所以1,为123,,4,一个极大线性无关组，继续对矩阵1234(,,,)施以初等行变换，将其化为简化行阶梯形矩阵，123410210112(,,,)00000000，因此312412,22。5.在数域上，KA为矩阵．(1nn)X为(1)nn未知矩阵，试证：矩阵方程AXE有解的充分必要条件是。()rankAn【证】令，即12100100n，，，00112(,,,)nEXX，记12112(,,,,),(,,,)nnnAXX，则AXE有解1212(,,,)(,,,)nnAXAXAX有解jAXj有解，1,2,,jnj可由A的列向量组12,,,,nn1线性表示，，1,2,,jn又显然12,,,,nn1可由12,,,n线性表示，12112{,,,,}{,,,}nnn12112{,,,,}{,,,}nnnrankrank。()rankAn线性代数期中试卷参考答案20154/4