分数阶积分算子的谱半径及其应用

分数阶积分算子的谱半径及其应用冯育强，朱兴，王蔚敏（武汉科技大学理学院，武汉430065）摘要：本文利用Gelfand公式和Stirling公式，计算了两种情形下分数阶积分算子谱半径。随后讨论了该结论在分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式中的应用。关键词：二级学科；分数阶积分算子；谱半径；Gelfand公式；Stirling公式中图分类号：O175.08文献标识码：A文章编号：SpectralradiusoffractionalintegraloperatorsanditsapplicationsFENGYuqiang,ZHUXing,WANGWeimin(CollegeofScience,WuhanUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430065,China)Abstract:Inthispaper,GelfandformulaandStirlingformulaareusedtocalculatethefractionalintegralspectralradiusintwocases.ThentheconclusionisappliedtodiscussthesolvabilityoffractionaldifferentialequationsandfractionalGronwallInequality.Keywords:fractionalintegraloperators;spectralradius;Gelfandformula;Stirlingformula0引言分数阶微积分是相对于传统意义上的整数阶微积分提出的，由于分数阶微积分良好的记忆和遗传性，分数阶微积分理论被广泛应用于自然科学的各个领域，尤其是控制理论、粘弹性理论、电子化学、分形理论等领域[1]。大量研究成果的面世也极大地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷纷投入到这个新兴的研究领域。在分数阶模型的使用中，出现了一系列分数阶微分积分方程，因此对分数阶积分算子的研究有着十分重要的意义。分数阶积分算子本质上是一类带奇异积分核的线性积分算子，对于其谱半径的计算，有助于进行分数阶微分方程的定性研究。在以往的文献中，不论是证明分数积分方程可解性，有解性，解的渐近性质，还是推广Gronwall不等式，其实本质上都用到了分数阶积分算子谱半径的性质，但是没有明确地指出[1,3,6]。本文正是从研究的需要出发，具体计算出分数积分算子的谱半径，并将所得结论用于分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式。1预备知识本节给出文中所涉及的一些基本概念和结论。定义1[2]设X是Banach空间，T是X的线性子空间)(TD到X中的线性算子，又设是一复数，若)(TI是正则算子，即)(TI是)(TD到X上的一对一的线性算子，且它的逆算子1)(TI是X到X中的有界线性算子时，称是T的正则点，并称1)(TI为T的豫解算子，记为),(TR.不是正则点的复数，称为T的谱点。复平面上正则点全基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20134219120003）；国家自然科学基金（F030203）；湖北省自然科学基金重点项目（2013CFA131）；冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室基金（z201302）作者简介：冯育强（1975-），男，教授，主要研究方向：非线性泛函分析理论、方法与应用.E-mail:[e-mail]体称为T的正则集或豫解集，记为)(T，谱点全体称为T的谱集，记为)(T.定义2[2]设X是Banach空间，T是X到X的有界线性算子，则称)(sup)(TTr为算子T的谱半径。引理1[2]设X为复的Banach空间，)(XBT，则1）极限nnnTlim存在且有()limnnrTT（Gelfand公式）；2）当)(Tr时，是T的正则点，则TI是可逆的，并且011)(nnnTTI.引理2（Stirling公式[3]）当x时，))1(1(2)1(oxexxx.引理3[3]设0为一常数，],[baLu，则分数阶积分dttutxxa11在],[ba上几乎处处存在。进一步，该变上限积分在],[ba上是Lebesgue可积的。定义3[4]设X为一Banach空间，P为X中一个非空凸集，满足条件1）;0,PxPx2）.0,xPxPx(0表示X的零元)，则称P为X中的锥。如果P为X中的锥，则可定义X中的半序“”为.Pxyyx定义4[4]设P为X中的锥，1）如果存在常数N，满足yNxyx0，则称P是正规的；2）如果PPX，则称P是再生的。2主要结论本节给出了计算分数阶积分算子谱半径的详细过程，分为两种情况进行讨论。定理1假设0为一常数，定义从],[baL到],[baL的分数阶积分算子为],[,11baLudttutxxTuxa，则0Tr.证明：由引理3可知，],[],[:baLbaLT，易见T为线性算子。以下分两个步骤证明0Tr.第一步：利用数学归纳法证明有下式成立：dttutxnxuTnxan11.（*）事实上，1）当1n时，由题设知（*）式显然成立；2）假设当kn时，（*）式仍然成立；3）当1kn时，dttuTtxxuTTxuTkxakk111dtdssustktxktxa10111dsdtsutxstkxatak111dtdssutxstkxaxsk111dttutxkkkkxa111dttutxkxak1111.这里令sxzst，并且利用Beta函数的性质可得下式成立：dzzztxdtsttxkkkxs111011111111,kktxkkktx因此，当1kn时，（*）式依然成立，（*）式得证.第二步，证明0Tr.因为dttutxnxuTnxan11，所以dxxuTTbanun)(sup1dtdxtutxnxanbau)()()(1sup11dxdttutxnbabtnu)()()(1sup11dttuntbnbanu)()()(1sup1unabnu)1()(sup1)1()(nabn.由Stirling公式可知enonennnnnnnnlim))1(1(2lim)1(lim.于是，利用Gelfand公式可得01)(lim1limlim11nnnnnnnnnabnTTTr.因此，0Tr.定理2设0为一常数，定义从],[baC到],[baC的分数阶积分算子为],[,11baCudttutxxTuxa，则0Tr.证明：分两个步骤来证明结论。第一步，证明],[],[:baCbaCT.事实上，对于任意取定的],[baCu，设],[,bahxx.当0,10h时，有)()(xTuhxTuxahxadttutxdttuthx)()()(1)()()(111hxxxadtthxudttxthxu111)()(])()[()(huKu)()(1.对于1K，有如下估计：xadttxhtxK])()[(111dssshhax])1([1011）如果hax0，则有hdssshK101])1([.2）如果hax，那么xadttxhtxK])()[(111dssshdssshhax1111101])1([])1([dsshhhax12)1(dsshh12)1(h)11(.综合1），2）可知0)()(lim0xTuhxTuh.同理，可以证明0h时，也有0)()(lim0xTuhxTuh.于是知],[baCTu.第二步，证明0Tr.由定理1的证明过程可知dttutxnxuTnxan11，所以xanbxaundttutxnT111maxsupxanbxadttxn11maxnbxaaxnn)(11maxnabn)(11.类似定理1可知，此时也有0Tr.3应用利用第2节所获结果，可以得到一些有意义的结论，为此，首先介绍文献[5]中定理3.2的一个推论。引理4设X为一Banach空间，P为X中的正规、再生锥，“”是由锥P导出的半序，如果T是X到X的增映射，且存在非负线性算子XX:，1)(r，使得xyXyxyxTyTx,,)(，则T在X中存在唯一不动点x，且对任意Xx，均有xxTnn)(lim.例1（分数阶微分方程求解）考察如下分数阶微分方程的初值问题：00)0())(,()(uututftuDC其中，RRf]1,0[:连续，且存在常数0k，当vut],1,0[时，)(),(),(0vukvtfutf；0DC表示Caputo导数；)1,0(为常数。注意到方程的解满足积分方程：dssusfstutut))(,()()(1)(010，定义]1,0[C上的算子T为dssusfstutTut))(,()()(1))((010，则T映]1,0[C到]1,0[C，且为增算子。定义]1,0[C上的锥]1,0[,0)(]1,0[ttxCxP，则P为X中的正规、再生锥。由于xyXyxyxTyTx,,)(，其中，]1,0[,10Cudttutxkxux.由定理2知，0)(r，因此，T在]1,0[C中有唯一不动点，即原方程有唯一解。例2（一个新的分数阶积分的Gronwall不等式）考察积分不等式dssuspsttgtatut)()()()()()(01，其中，au,为R上的非负局部可积；pg,为R上的非负连续函数，)1,0(为常数对于任意的0A，定义],0[AL上的映射T如下：dssuspsttgtatTut)()()()()())((01.由引理3，则T映],0[AL到],0[AL，且为增算子。定义],0[AL上的锥],0[..,0)(],0[AteatxALxP，则P为X中的正规、再生锥。由于xyXyxyxTyTx,,)(，其中，],0[,10ALpdttptxMxpx.这里)()()(max],0[tptgMAt.由定理1知，0)(r，因此，T在],0[AL中有唯一不动点，记为u，且有uuTnn)(lim.由于Tuu，注意到T为增算子，因此，uuTTuu)(2.取)(ta为迭代的初始值，可以计算得到)