高等数学同济版-第八章-习题

21、区域设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx0P连通的开集称为区域或开区域．（2）区域3（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.（4）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.4设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP).(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.2、多元函数概念定义当2n时，n元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数．5定义设函数),(yxfz的定义域为,D),(000yxP是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.3、多元函数的极限6说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则时，设75、多元函数的连续性定义设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点且DP0，如果)()(lim00PfPfPP则称n元函数)(Pf在点0P处连续.设0P是函数)(Pf的定义域的聚点，如果)(Pf在点0P处不连续，则称0P是函数)(Pf的间断点.8在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、多元连续函数的性质9定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为7、偏导数概念10同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.11如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.12８、高阶偏导数),,(22yxfxzxzxxx),,(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy).,(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.13如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为)(oyBxAz，其中A,B不依赖于yx,而仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分，yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，即dz=yBxA.９、全微分概念14多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导沿任意方向的方向导数存在1510、复合函数求导法则定理　如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz．以上公式中的导数称为全导数.dtdz16如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.1711、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz.180),()1(yxF隐函数存在定理1设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有yxFFdxdy.隐函数的求导公式12、隐函数的求导法则19隐函数存在定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz.0),,()2(zyxF200),,,(0),,,()3(vuyxGvuyxF隐函数存在定理3设),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0),,,(0000vuyxF,),,,(0000vuyxG0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）vGuGvFuFvuGFJ),(),(21在点),,,(0000vuyxP不等于零，则方程组0),,,(vuyxF、0),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu，),(yxvv，它们满足条件),(000yxuu,vv0),(00yx，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu22vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv2313、微分法在几何上的应用切线方程为.)()()(000000tzztyytxx法平面方程为.0))(())(())((000000zztyytxxt(1)空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx24(２)曲面的切平面与法线.0),,(:zyxF切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx2514、方向导数.),(),(lim0yxfyyxxflf的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义lPPlPyxPPyxfyyxxf22)()(),(),(记为26.),,(),,(lim0zyxfzzyyxxflf三元函数方向导数的定义（其中222)()()(zyx）),(yxfz),(yxPcoscosyfxflf定理如果函数在点那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有是可微分的，的方向余弦。是，其中lcoscos27定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfjyfixf.梯度的概念28函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22|),(|yfxfyxgradf.梯度与方向导数的关系2915、多元函数的极值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.30定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，称为多元函数的驻点.31定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值.32求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值CBA、、.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.33拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.条件极值：对自变量有附加条件的极值．34典型例题1、求极限yxyxyx00lim法一原式011100xyyxlim法二令,xky则,原式010kkxxlim法三令,sin,cosryrx则00sincossincoslimrr实际上若令xxy2则原式12230xxxxlim所以极限不存在！前面三法均不正确,时，下列算法是否正确?原式35不存在。、证明yyxx002limyyxx00