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G1(s)G2(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)N(s)第七章非线性控制系统的分析方法本章目录第一节非线性控制系统概念第二节描述函数法第三节非线性系统的描述函数法分析第四节改善非线性系统性能的方法第五节相平面分析法第六节非线性系统的相平面分析本章小结在自动控制系统中，如有一个或一个以上的环节具有非线性特性时，该自动控制系统就称为非线性控制系统。所谓非线性环节就是指环节的输入和输出之间的静特性不是线性的。在本章中，我们将讨论非线性控制系统的分析方法。G1(s)G2(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)N(s)第一节非线性控制系统概述一、非线性现象的普遍性在实际的自动控制系统中，组成系统的环节总是或多或少地存在着非线性因素。所以严格地讲，自动控制系统都是非线性控制系统，不存在绝对的线性控制系统。所谓的线性系统仅仅是实际系统在忽略其非线性因素之后的理想模型。例如在第二章中，我们曾采用线性化方法去处理环节中的非线性环节。总之，非线性特性是普遍存在于自动控制系统中的，下面举例说明。测量元件总是有一个不灵敏区，当输入信号超出一定数值时才会有输出信号。运算放大器在一定范围内其输出信号与输入信号呈线性关系。而超出这个范围，就会出现饱和现象。电动机作为执行元件，当输入电压达到一定数值时才会转动，即存在死区。同时也因铁磁材料的非线性而存在转矩饱和。各种机械传动机构由于加工精度和装配上的缺陷，在传动过程中总是存在间隙。自动控制系统中存在的非线性问题在一般情况下会对系统产生不良影响。如稳定性将变得非常复杂；系统在运行时可能会出现自持振荡；当输入为正弦信号其输出可能会产生高次谐波分量等。但是，如果在自动控制系统中适当采用非线性环节却能使系统的性能得到明显的改善。这种人为地加到系统中的非线性环节称为非线性校正装置。如电力拖动自动控制系统中就采用饱和非线性降低输出超调量。二、典型非线性特性实际自动控制系统中的非线性特性是各种各样的。工程中常见的典型非线性特性有以下几种：饱和非线性死区非线性死区饱和非线性继电非线性间隙非线性饱和非线性在实际工程中应用的比例环节，如果在一定的输入范围内可保持输出量与输入量之间的线性比例关系；当输入超出规定的范围时，其输出保持为一个常值。这种特性我们称为饱和非线性特性，如图7-01所示。所规定的输入范围区域叫做线性范围，线性范围以外的区域叫做饱和区。许多组成系统的环节，其输出范围受能源、功率等条件的限制，均具有饱和非线性特性。xy-BBc-c0图7-01饱和非线性死区非线性一般的测量元件、执行机构均具有不灵敏区特性。某些检测元件对于小于某一值的输入量没有输出信号；某些执行机构在输入信号小于特定范围时不会有输出动作，只有在输入信号大于特定范围时才会有与输入成线性关系的输出。这种只有当输入量超过一定值后才有输出的特性称为死区非线性或不灵敏区非线性，如图7-02所示。工程中经常会有一些饱和非线性特性和死区非线性同时存在的元件。xxyy00-BBcc-c-c-cnc-nc图7-02死区非线性与饱和死区非线性继电非线性当继电器工作时，其输入输出之间的关系不完全是单值的，这是由于继电器在释放和吸合状态下磁路的磁阻不同，从而造成吸合和释放电流的不同。因此，继电器的特性存在一个滞环，表现为具有滞环的三位置继电特性；当m=-1时则表现为具有滞环的两位置继电特性，如图7-03所示。而当m=1时，继电特性为无滞环理想情况的具有三位置的理想继电非线性；当c=0时，继电特性为理想两位置继电特性，如图7-04所示。BB-B-B-c-ccc-mcmc00xxyy图7-03三位置继电非线性与两位置继电非线性BB-B-B-cc00xxyy图7-04理想三位置继电非线性与理想两位置继电非线性间隙非线性对于某一控制环节，当其输入量的变化方向改变时，其输出量保持不变，直到输入量的变化超出一定数值后，输出量才跟随输入量线性变化，这就是间隙非线性的特性，如图7-05所示。一般机械传动中的齿轮传动总存在间隙非线性。B-Bc-c0yx图7-05间隙非线性三、非线性控制系统的特殊性叠加原理不能应用于非线性控制系统对于线性系统，描述其运动的数学模型是线性微分方程，因此可以应用叠加原理，进一步还可引入传递函数、频率特性、根轨迹等概念。由于线性系统的运动特征与输入的大小及初始状态无关，通常可在典型输入函数和零初始条件下对系统进行分析。但对于非线性系统，则不能应用叠加原理，因此也就不能应用上述概念和方法对其运行状态进行分析。对正弦输入信号的响应当线性系统的输入为正弦信号时，系统的稳态输出为相同频率的正弦信号，其输出和输入仅在幅值和相位上不同，从而可引入频率特性的概念对系统动态特性进行分析。非线性系统对正弦输入信号的响应则比较复杂，其稳态输出除了与输入频率相同的正弦信号外，还包含频率为输入信号频率整数倍的高次谐波分量。所以非线性系统不能使用频率法进行分析。稳定性问题对于线性系统，若它一个平衡状态是稳定的，可以推出其所有的平衡状态都有是稳定的。而对于非线性系统，它的某些平衡状态可能是稳定的，但另外一些平衡状态却可能是不稳定的。线性系统的稳定性只与系统的结构形式和参数有关，而与外作用及初始条件无关。非线性系统的稳定性不但与系统的结构形式和参数有关，还与外作用及初始条件有关。自持振荡问题根据以前的分析可知，线性系统可能会包含二阶振荡环节，但是，由于信号或功率在传递过程中必然出现损耗，实际工程中绝对不存在无阻尼情况。但在非线性系统中，即使没有外部作用，系统也有可能产生一定频率和振幅的周期运动。并且当系统受到扰动后，运动仍能保持原来的频率和振幅，因此这种周期运动具有稳定性。非线性系统出现的这种周期运动称为自持振荡。四、非线性控制系统的分析方法从工程的观点来看，分析和设计系统的目的就是通过求取系统的运动形式，以解决系统稳定性为中心，确定系统结构和参数，优化系统性能指标，并对系统实施可靠有效的控制。由于非线性系统形式多样，再加上数学理论的局限，一般情况下难以求得系统非线性微分方程的解析解，我们只能应用工程上广泛采用计算机仿真技术来对非线性系统进行分析和处理。目前，工程上采用的分析和设计方法是描述函数法和相平面法。描述函数法描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。应用描述函数法分析非线性控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特征（如振幅、频率）与系统参数（如放大系数、时间常数等）的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。描述函数法可以看成是线性控制系统理论中的频率法在分析非线性系统中的推广，而线性系统理论中的很多结论均可以在描述函数法中得到应用。相平面分析法非线性控制系统的相平面分析法是状态空间分析法在二维空间情况下的应用。这是一种用图解法求解二阶非线性微分方程的方法。该方法通过在相平面图上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。所以，它适用于分析二阶系统。由于相平面上轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此，我们可以在相平面图上分析系统平衡状态下的稳定性和系统的时域响应性能。G1(s)G2(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)N(s)第二节描述函数法一、描述函数的基本概念G1(s)G2(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)N(s)第三节非线性系统的描述函数法分析G1(s)G2(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)N(s)第四节相平面分析法G1(s)G2(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)N(s)第五节非线性系统的相平面分析