微分及其运算

第3章导数与微分§3.1导数概念§3.2导数基本运算与导数公式§3.3隐函数与参变量函数求导法则§3.4微分及其运算§3.5高阶导数目录上一页目录下一页退出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0§3.4微分及其运算一、微分的定义定义000000000(),,()()()(),(),(),dd(),d.xxxxyfxxxxyfxxfxAxoxAxyfxxAxyfxxxyfxyAx设函数在某区间内有定义及在这区间内如果成立其中是与无关的常数则称函数在点可微并且称为函数在点相应于自变量增量的微分记作或即d.yy微分叫做函数增量的线性主部(微分的实质)由定义知:;)1(的线性函数是自变量的改变量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAdyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)5(线性主部很小时当dyyx).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理1证(1)必要性,)(0可微在点xxf),(xoxAy,)(xxoAxyxxoAxyxx)(limlim00则.A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数(2)充分性),()(0xxxfy从而,)(0xfxy即,)(0可导在点函数xxf),(lim00xfxyx),0(0x),()(0xoxxf.)(,)(00Axfxxf且可微在点函数).(.0xfA可微可导.)(),(,,)(xxfdyxdfdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数例1解311.01.yxx求函数当由改变到时的微分3d()yxx.32xx2110.010.01d3=0.03xxxxyxx.,,xdxdxxx即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量.)(dxxfdy).(xfdxdy..微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy二、微分的计算d()dyfxx求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvudarc例2解12,d.xyxey设求2()xyxedd(2)dxyyxxexx22xxxexe(2)xxex解222dd()d()xxyexxe22d()dxxexxxex(2)d.xxexx3.微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若),(,)2(txtx),()(xfxfy有导数设函数dttxfdy)()(,)(dxdtt.)(dxxfdy结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx微分形式的不变性dxxfdy)(例3解2lncos,d.yxy设求221ddcoscosyxx222sindcosxxx2tan2dxxx22tand.xxx例4解0ddxyxyeeyyx用微分由方程所确定的隐函数的导数dddd0xyxyyxexeyx方程两边对求微分解得d,dxyyeyxxe整理得()d()dyxxeyeyx三、微分的几何意义及在近似计算中的应用)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox1.几何意义:(如图).,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyyxx0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当2.近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf00xxxxdyy.)(0xxf),()()()(000xxxfxfxf,很小时当x,0时当x常用近似公式)(很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn为弧度为弧度证明,1)()1(nxxf设,)1(1)(11nxnxf.1)0(,1)0(nffxffxf)0()0()(.1nx例5?,05.0,10问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解,2rA设.05.0,10厘米厘米rrrrdAA205.0102).(2厘米例6.计算下列各数的近似值解0.023(1)1.06;(2).e33(1)1.0610.06110.0631.02.0.02(2)10.02e0.98.四、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:.可微可导★★导数与微分的区别:.,,,))((),()(.100000它是无穷小实际上的定义域是它的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数Rxxxxxfdyxfxxf))((limlim0000xxxfdyxxxx.0.))(,()()()(,))(,()()(,.200000000的纵坐标增量线方程在点处的切在点是曲线而微分处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf★近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf00xxxxdyy.)(0xxf),()()()(000xxxfxfxf,很小时当x,0时当x★