12-6线性微分方程通解的结构

线性微分方程解的结构第六节二、二阶线性微分方程解的性质三、二阶线性微分方程解的结构第十二章二、二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质性质1(齐次线性方程解的叠加原理)若函数)(1xy与)(2xy是方程(6.1)的两个解,则2211yCyCy也是(6.1)的解.(21,CC是任意常数）)1.6(0)()(yxqyxpy)2.6()()()(xfyxqyxpy证yxqyxpy)()())(()(22112211yCyCxpyCyC))((2211yCyCxq])()([])()([22221111yxqyxpyCyxqyxpyC000.)1.6(2211的解是方程yCyCy性质2.)2.6()()()2.6()()1.6()(的解必是方程的解，则是方程的解，是方程若xyxyxyxy)1.6(0)()(yxqyxpy)2.6()()()(xfyxqyxpy性质3.)1.6()()()2.6()(),(2121的解必是齐次线性方程解，则的均是非齐次线性方程若xyxyxyxy)1.6(0)()(yxqyxpy)2.6()()()(xfyxqyxpy性质4(非齐次线性方程解的叠加原理):)(是方程若xyi)()()(xfyxqyxpyi),,2,1(ni是方程：的解，则)(1xycinii.,,,)()()(211均为常数的解，其中nniiicccxfcyxqyxpy注性质1~性质4可推广到n阶线性微分方程的情形.例2是方程：分别和已知xyxxy3cos81sin221,cosxyyxyy3cos的解，.2coscos的一个特解试求xxyy解)3cos(cos212coscosxxxx,cos1xyyy满足：,3cos2xyyy满足：.3cos161sin4)(2121为所求特解xxxyyy问题1是否有类似的结论？三、二阶线性微分方程解的结构回顾：)3.6(0)(yxpy,)4.6()3.6(的一个特解是的通解，为若yY.)4.6(的通解是则yY对于方程)4.6()()(xqyxpy)2.6()()()(xfyxqyxpy问题2答:的通解吗？一定是)1.6(2211yCyCy不一定.的解，例如：是某二阶齐次线性方程的解,也是齐次线性方程的解并不是通解.但是则为解决通解的判别问题,还需引入函数的线性相关与线性无关概念.定义12.1)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关；否则称为线性无关.若存在不全为0的常数));,((,)1(2xeeexxx，例3下列各函数组在给定区间上是线性相关还是线性无关？,02321xxxekekek若,022321xxxekekek则”“xdd,042321xxxekekek得令,0x04020321321321kkkkkkkkk.0321kkk求解得线性无关解));,((x,sin,cos,1)2(22xx故该函数组在任何区间I上都线性相关;解),(,Ix,1,1321CCC不全为零的常数特别地,对于两个函数的情形：则函数)(1xy与)(2xy在I上线性无关.定理上连续，若在设],[I)(),(21baxyxy常数常数或)()()()(1221xyxyxyxy例如：常数xxxtancossin.cos,sin在任何区间上线性无关xx注可以证明：的两个解，则在是二阶齐次线性方程设],[I)1.6()(),(21baxyxy上线性无关在],[I)(),(21baxyxy.,0)()()()()(2121Ixxyxyxyxyxw1.齐次线性微分方程解的结构定理12.1(齐次线性方程(6.1)的通解结构)推论阶齐次线性微分是设nnixyi),,2,1()(n个线性无关的特解，则此方程的通解为0)()()(1)1(1)(yxpyxpyxpynnnn方程：)()()()(2211xyCxyCxyCxynn.21为任意常数，，，其中nCCC如果y1(x)与y2(x)是方程(6.1)的两个线性无关的特解,那么就是方程(6.1)的通解.2211yCyCy.0解的解，并求此方程的通yy均是方程验证：xyxysin,cos21,tan12常数又xyy.sincos21是所给方程的通解xCxCy验证：0coscoscos)(cosxxxx0sinsinsin)(sinxxxx.sin,cos21均是所给方程的解xyxy例5定理12.2(二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构)设*y是二阶非齐次线性方程)2.6()()()(xfyxqyxpy2.非齐次线性微分方程解的结构的一个特解,Y是与(6.2)对应的齐次线性方程(6.1)的通解,那么*yYy是二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通解.证由性质3,可知)(*)(xyxYy是非齐次线性方程(6.2)的解,又Y中含有两个独立任意常数，因而也含有两个独立任意常数，因而它是(6.2)的通解.)(*)(xyxYy例6).()()()(,,3221321则该微分方程的通解为常数，的三个不同解，且是微分方程设yyyyxfyxqyxpyyyy;)(32211yyCyCA);()()(322211yyCyyCB;)(332211yCyCyCC.)()()(3322211yyyCyyCDD都是方程已知232221,,xeyxxyxyx例722)1(2xxyyxyx.的解，求此方程的通解解(1)由性质3，知xeyyyxyyy132121~,~：均是对应齐次线性方程.的解(2)0)1(yyxyx线性无关与21~~yy齐次线性方程(2)的通解为：2211~~yCyCYxeCxC21由定理12.2，知原方程(1)的通解为：.2211xeCxCyYyx,~~21常数又xexyy求二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通解的关键：注1°确定与其相对应的二阶齐次线性方程(6.1)的两个线性无关的解;2°求(6.2)的一个特解.内容小结解的叠加原理函数组线性相关与线性无关1、二阶线性微分方程解的性质2、二阶线性微分方程解的结构思考题:,,1)()(2试求为齐次线性方程有一特解对应有一特解设xxxfyxPy的表达式；)(),()1(xfxP.)2(此方程的通解思考题解答由条件可得)1(02)(2xxP)()1)((223xfxxPx,1)(xxP解得33)(xxf代入原方程，得331xyxy331xyxy,101)2(yyxy有一特解显见故齐次线性方程的通解由解的结构定理知，xxCCy1221原方程的通解为221xCCY