高三数学一轮复习题：函数

第1页共36页高三数学一轮复习题：函数一、单选题（共10题；共20分）1.（2018·河北模拟）设函数𝑓(𝑥)={𝑥+1,𝑥≥012𝑥,𝑥0，则𝑓[𝑓(−1)]=（）A.32B.√2+1C.1D.32.（2018高三上·长春期中）下列四个方程中有实数解的是（）A.2𝑥=0B.(13)𝑥=−1C.0.1𝑥=3D.3−𝑥=−33.（2020高三上·潮州期末）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+12𝑥，若𝑓(𝑓(0))=4，则log6𝑎=()A.12B.2C.1D.64.（2019高三上·西安月考）若函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐有极值点𝑥1，𝑥2，且𝑓(𝑥1)=𝑥1，则关于𝑥的方程3(𝑓(𝑥))2+2𝑎𝑓(𝑥)+𝑏=0的不同实根个数是（）A.3B.4C.5D.65.（2017·安庆模拟）若a＞0，b＞0，则称2𝑎𝑏𝑎+𝑏为a，b的调和平均数．如图，点C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，点O为线段AB中点，以AB为直径做半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E，则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，那么图中表示a，b的几何平均数与调和平均数的线段，以及由此得到的不等关系分别是（）A.𝐶𝐷，𝐶𝐸，2𝑎𝑏𝑎+𝑏≥√𝑎𝑏B.𝐶𝐷，𝐷𝐸，2𝑎𝑏𝑎+𝑏≤√𝑎𝑏C.𝐶𝐷，𝐷𝐸，2𝑎𝑏𝑎+𝑏≥√𝑎𝑏D.𝐶𝐷，𝐶𝐸，2𝑎𝑏𝑎+𝑏≤√𝑎𝑏6.规定[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.1]=3，[-2.6]=-3，[-2]=-2；若f'(x)是函数f(x)=ln|x|导函数，设g(x)=f(x)f'(x)，则函数y=[g(x)]+[g(-x)]的值域是（）A.{偶数｝B.{0,1}C.{0}D.{-1,0}7.（2017·河北模拟）已知函数f（x）={−𝑙𝑜𝑔2(3−𝑥)，𝑥22𝑥−2−1，𝑥≥2，若f（2﹣a）=1，则f（a）=（）第2页共36页A.﹣2B.﹣1C.1D.28.已知𝑓(𝑥)={√1−𝑥2,0𝑥≤1−√1−𝑥2,−1≤𝑥0)且0|𝑚|1,0|𝑛|1,𝑚𝑛0，则使不等式𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛)0成立的m和n还应满足条件是（）A.m+n0B.m+n0C.m-n0D.m-n09.（2019高三上·凤城月考）函数𝑓(𝑥)=𝑥e−𝑎𝑥−1𝑥在(0,+∞)上有两个零点，则实数𝑎的取值范围是（）A.(−∞,2e)B.(0,2e)C.(1,e)D.(1e,2e)10.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为𝑛10+4.9(𝑛∈𝑁∗)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了()．A.600天B.800天C.1000天D.1200天二、填空题（共10题；共10分）11.（2019高三上·黄山月考）对于实数𝑎和𝑏，定义运算𝑎∗𝑏={𝑎(𝑏+1),𝑎≥𝑏𝑏(𝑎+1),𝑎𝑏，则式子ln𝑒2∗(19)−12的值为________.12.（2019·四川模拟）已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2+1,𝑥≤1𝑥,𝑥1，则𝑓(2)−𝑓(1)=________．13.（2017·湖南模拟）若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+3）≥f（x）+3和f（x+2）≤f（x）+2，且f（1）=1，则f（2017）的值为________．14.（2019·哈尔滨模拟）关于函数𝑓(𝑥)=2𝑥+ln𝑥,下列说法正确的是________（填上所有正确命题序号）.（1）𝑥=2是𝑓(𝑥)的极大值点；（2）函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑥有且只有1个零点；（3）存在正实数𝑘，使得𝑓(𝑥)𝑘𝑥恒成立；（4）对任意两个正实数𝑥1,𝑥2，且𝑥1𝑥2，若𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)，则𝑥1+𝑥24.15.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，如果函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点，则m的取值范围是________16.（2019高三上·汕头期末）已知函数𝑓(𝑥)=1𝑥+1𝑥+1+1𝑥+2，由𝑓(𝑥−1)=1𝑥−1+1𝑥+1𝑥+1是奇函数，可得函数𝑓(𝑥)的图象关于点(−1,0)对称，类比这一结论，可得函数𝑔(𝑥)=𝑥+2𝑥+1+𝑥+3𝑥+2+⋯+𝑥+7𝑥+6的图象关于点________对称.17.（2018高三上·酉阳期末）定义域为𝑅的偶函数𝑓(𝑥)满足对∀𝑥∈𝑅，有𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)−𝑓(1)，且当𝑥∈[2,3]时，𝑓(𝑥)=−2𝑥2+12𝑥−18，若函数𝑦=𝑓(𝑥)−log𝑎(|𝑥|+1)在(0,+∞)上至多有三个零点，则𝑎的取值范围是________.第3页共36页18.（2020·杨浦期末）己知函数𝑓(𝑥)=|1−1𝑥|(𝑥0)，若关于𝑥的方程[𝑓(𝑥)]2+𝑚𝑓(𝑥)+2𝑚+3=0有三个不相等的实数解，则实数𝑚的取值范围为________.19.若不等式𝑡𝑡2+9≤𝑎≤𝑡+2𝑡2在𝑡∈(0,2]上恒成立，则𝑎的取值范围是________．20.（2018·枣庄模拟）若函数𝑓(𝑥)={(𝑎−1)𝑥−2𝑎,𝑥2,log𝑎𝑥,𝑥≥2在𝑅上单调递减，则实数𝑎的取值范围是________．三、解答题（共30题；共434分）21.（2017·南海模拟）函数f（x）=|x+3|+|x﹣1|，其最小值为t．（1）求t的值；（2）求t的值；（3）若正实数a，b满足a+b=4，求证1𝑎+4𝑏≥94．（4）若正实数a，b满足a+b=4，求证1𝑎+4𝑏≥94．22.（2018·宜宾模拟）已知𝑓(𝑥)=13𝑥，𝑔(𝑥)为𝑓(𝑥)的反函数，不等式1𝑓(𝑥)≤3的解集为𝑀(I)求集合𝑀；(II)当𝑥∈𝑀时，求函数𝑔(−1𝑥)的值域.23.（2020·肥城模拟）记𝑆𝑛为公差不为零的等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎12=𝑎92，𝑆6=18.（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）求{𝑎𝑛}的通项公式；（3）求𝑆𝑛的最大值及对应𝑛的大小.（4）求𝑆𝑛的最大值及对应𝑛的大小.24.（2017·顺义模拟）已知函数f（x）={𝑥3，𝑥≤𝑚𝑥2，𝑥𝑚，函数g（x）=f（x）﹣k．（1）当m=2时，若函数g（x）有两个零点，则k的取值范围是________；（2）当m=2时，若函数g（x）有两个零点，则k的取值范围是________；（3）若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，则m的取值范围是________．（4）若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，则m的取值范围是________．25.（2015高三上·泰州期中）设函数f（x）=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑎𝑥，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（1𝑥）；（2）当x≠0时，求证：f（x）=f（1𝑥）；（3）若函数y=f（x），x∈[12，2]的值域为[5，6]，求f（x）；（4）若函数y=f（x），x∈[12，2]的值域为[5，6]，求f（x）；第4页共36页（5）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．（6）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．26.（2018·潍坊模拟）已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1=2，𝑎𝑛0(𝑛∈𝑁∗)，𝑆6+𝑎6是𝑆4+𝑎4，𝑆5+𝑎5的等差中项.（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（3）设𝑏𝑛=log12𝑎2𝑛−1，数列{2𝑏𝑛𝑏𝑛+1}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求𝑇𝑛.（4）设𝑏𝑛=log12𝑎2𝑛−1，数列{2𝑏𝑛𝑏𝑛+1}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求𝑇𝑛.27.（2015高三上·河西期中）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y=𝑥150+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y=𝑥150+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（3）若该公司采用模型函数y=10𝑥−3𝑎𝑥+2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．（4）若该公司采用模型函数y=10𝑥−3𝑎𝑥+2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．28.（2019高三上·双鸭山月考）已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥|+|2𝑥+3|+𝑚,𝑚∈𝑅．（1）当𝑚=−2时，求不等式𝑓(𝑥)≤3的解集；（2）当𝑚=−2时，求不等式𝑓(𝑥)≤3的解集；（3）若∀𝑥∈(−∞,0)，都有𝑓(𝑥)≥𝑥+2𝑥恒成立，求𝑚的取值范围．（4）若∀𝑥∈(−∞,0)，都有𝑓(𝑥)≥𝑥+2𝑥恒成立，求𝑚的取值范围．29.（2016高三上·泰兴期中）已知函数f（x）=2𝑥+1𝑥+1．（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．30.（2016·商洛模拟）已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），1𝑎+4𝑏≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（1）求1𝑎+4𝑏的最小值；（2）求x的取值范围．31.（2019高三上·双鸭山月考）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒+𝑎ln𝑥，其中𝑎为常数．（1）若直线𝑦=2𝑒𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的一条切线，求实数𝑎的值；第5页共36页（2）若直线𝑦=2𝑒𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的一条切线，求实数𝑎的值；（3）当𝑎=−1时，若函数𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|−ln𝑥𝑥+𝑏在[1，+∞)上有两个零点．求实数𝑏的取值范围．（4）当𝑎=−1时，若函数𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|−ln𝑥𝑥+𝑏在[1，+∞)上有两个零点．求实数𝑏的取值范围．32.（2019高三上·吉林月考）已知数列{𝑎𝑛}是公比为正数的等比数列，其前𝑛项和为𝑆𝑛，满足𝑎1=2，且𝑎2,2𝑆2,𝑎3成等差数列.（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）若数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛=log2𝑎𝑛，求𝑏12−𝑏22+𝑏32−𝑏42+𝑏52−𝑏62+⋅⋅⋅+𝑏992−𝑏1002的值.33.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，焦距为2．（14分）（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣√32交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=√24，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．34.（2020·化州模拟）已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥2−𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏，𝑎,𝑏∈R.（Ⅰ）当𝑎=1时，求函数