深圳市2017届高三年级第一次调研考试(理数)

1深圳市2017届高三年级第一次调研考试数学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合22,4,,6,8,B|9180Axxx，则AB（）A．2,4B．4,6C．6,8D．2,82．若复数12aiaRi为纯虚数，其中i为虚数单位，则a（）A．2B．3C．-2D．-33．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．14B．12C．13D．234．等比数列na的前n项和为,31baSnn则ab（）A．-3B．-1C.1D．325．直线:40lkxykR是圆22:4460Cxyxy的一条对称轴，过点0,Ak作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．22B．2C.6D．266．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为02hh的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4B．2hC.22hD．24h7．函数xxfxxcos1212)(的图象大致是（）8．已知0,0abc，下列不等关系中正确的是（）A．acbcB．ccabC.loglogabacbcD．abacbc9．执行如图所示的程序框图，若输入2017p，则输出i的值为（）A．335B．336C.337D．338310．已知F是双曲线2222:10,0xyEabab的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为2d，若2FPd，则该双曲线的离心率是（）A．2B．2C.3D．411．已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD，球O与该正方体的各个面相切，则平面1ACB截此球所得的截面的面积为（）A．83B．53C.43D．2312．已知函数2,0,xxfxxee为自然对数的底数，关于x的方程20fxfx有四个相异实根，则实数的取值范围是（）A．），（e20B．),22(C.),2(eeD．),42(22ee4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量1,2,,3pqx，若pq，则pq．14．51）（xx的二项展开式中，含x的一次项的系数为．（用数字作答）15．若实数,xy满足不等式组4023801xyxyx，目标函数zkxy的最大值为12，最小值为0，则实数k．16．已知数列na满足2222nnnanann，其中121,2aa，若1nnaa对*nN恒成立，则实数的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）ABC的内角ABC、、的对边分别为abc、、，已知23sincosacAaC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若3c，求ABC的面积S的最大值．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设BD与AC相交于点G，2,3,ABBDAEEADEAB．（Ⅰ）证明：平面ACFE平面ABCD；（Ⅱ）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角BEFD的余弦值．519．（本小题满分12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（Ⅰ）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求,ab的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已成椭圆2222:10xyCabab的左右顶点分别为12AA、，上下顶点分别为21BB、，左右焦点分别为12FF、，其中长轴长为4，且圆2212:7Oxy为菱形1122ABAB的内切圆．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点,0Nn为x轴正半轴．．．上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点2F在l上的射影为H，若1FHN的面积不小于2316n，求n的取值范围．621．（本小题满分12分）已知函数ln,fxxxe为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线yfx在2xe处的切线方程；（Ⅱ）关于x的不等式1fxx在0,上恒成立，求实数的值；（Ⅲ）关于x的方程fxa有两个实根12,xx，求证：21221xxae．请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点)332,1(P，其参数方程为cos2sinxay（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线E的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l交E于点AB、，且OAOB，求证：2211OAOB为定值，并求出这个定值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,3fxxagxxx，记关于x的不等式fxgx的解集为M．（Ⅰ）若3aM，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若1,1M，求实数a的取值范围．7数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BCBAC6-10:DCDCB11、12：BC二、填空题13.5214.-515.316.0,三、解答题17.解:（Ⅰ）由已知及正弦定理可得2sin3sinsinsincosACAAC，在ABC中，sin0A，∴23sincosCC，∴31sincos122CC，从而sin16C，∵0C，∴5666C，∴62C，∴23C；（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）知23C，∴3sin2C，∵12sin2SabC，∴34Sab，∵222cos2abcCab，∴223abab，∵222abab，∴1ab（当且仅当1ab时等号成立），8∴3344Sab；解法二：由正弦定理可知2sinAsinsinabcBC，∵1sin2SabC，∴3sinsinSAB，∴3sinsin3SAA，∴33sin2264SA，∵03A，∴52666A，∴当262A，即6A时，S取最大值34.18.解：（Ⅰ）证明：连接EG，∵四边形ABCD为菱形，∵,,ADABBDACDGGB，在EAD和EAB中，,ADABAEAE，EADEAB，EAD≌EAB，∴EDEB，∴BDEG，∵ACEGG，∴BD平面ACFE，∵BD平面ABCD，∴平面ACFE平面ABCD；（Ⅱ）解法一：过G作EF垂线，垂足为M，连接,,MBMGMD，易得EAC为AE与面ABCD所成的角，9∴060EAC，∵,EFGMEFBD，∴EF平面BDM，∴DMB为二面角BEFD的平面角，可求得313,22MGDMBM，在DMB中由余弦定理可得：5cos13BMD，∴二面角BEFD的余弦值为513；解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（Ⅰ）可知，平面ACFE平面ABCD，∴MG平面ABCD，∴直线,,GMGAGB两两互相垂直，分别GAGBGM、、为,,xyz轴建立空间直角坐标系Gxyz，易得EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴060EAC，则333330,1,0,0,1,0,E,0,,,0,2222DBF，10333323,0,0,,1,,,1,2222FEBEDE，设平面BEF的一个法向量为,,nxyz，则0nFE且0nBE，∴0x，且33022xyz取2z，可得平面BEF的一个法向量为0,3,2n，同理可求得平面DEF的一个法向量为0,3,2m，∴5cos,13nm，∴二面角BEFD的余弦值为513．19.解析：（Ⅰ）当0200x时，0.5yx；当200400x时，0.52000.82000.860yxx，当400x时，0.52000.82001.0400140yxx，所以y与x之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400xxyxxxx；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当260y时，400x，则4000.80Px，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2ba，∴0.0015,0.0020ab；（Ⅲ）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550.当50x时，0.55025y，∴250.1Py，当150x时，0.515075y，∴750.2Py，当250x时，0.52000.850140y，∴1400.3Py，当350x时，0.52000.8150220y，∴2200.2Py，11当450x时，0.52000.82001.050310y，∴3100.15Py，当550x时，0.52000.82001.0150410y，∴4100.05Py，故Y的概率分布列为：Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以随机变量X的数学期望250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY.20.解：（Ⅰ）由题意知24a，所以2a，所以12122,0,2,0,0,,0,AABbBb，则直线22AB